Primitive...

juan81 · November 2012

Bonjour à tous, voilà un exo qui me pose problème :

1) Tracez $ f(x)=6\sin(x^2) $
2) Identifiez le maximum de la primitive $F$ de $f$ sur l'intervalle $]0,3[$.
3) Si $F(1)=5$, combien vaut $F(\sqrt{\pi})$ ?

1) Facile
2) Pas trop dur, je trouve que le maximum est atteint en $x=\sqrt\pi$
3) Je ne vois pas du tout le lien... J'aimerais un petit coup de pouce ! (S'il n'y pas une erreur d'énoncé...)

Merci de votre aide,
Juan

JLT · November 2012

Je ne crois pas que ce soit calculable de manière exacte. Une valeur approchée est 8.507379

B....t · November 2012

Les fonctions $C(x)=\int_{0}^{x}\cos\left(\frac{\pi}{2}t^{2}\right)dt$ et $S(x)=\int_{0}^{x}\sin\left(\frac{\pi}{2}t^{2}\right)dt$ sont les intégrales de Fresnel qui n'ont pas beaucoup de valeurs calculables. On a par exemple
$$\int_{0}^{\infty}\sin(t^{2})dt=\int_{0}^{\infty}\cos(t^{2})dt=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}$$
Ce qui se montre assez facilement. Malheureusement, comme JLT, je doute que $F(\sqrt{\pi})$ soit exprimable avec des constantes connues. L'énoncé parait donc bizarre.

jean lismonde · November 2012

bonjour

le maximum de F(x) sur R+ est en effet $F(\sqrt\pi)$
le graphe formé d'une sinusoïde rétractée sur l'axe des abscisses nous le confirme

il y a effectivement une erreur d'énoncé à la troisième question; $F(1) = 1,86160981...$ et non pas 5
il suffit pour calculer F(1) d'utiliser le développement en série de sin(t²) et intégrer terme à terme de 0 à 1

pour calculer $F(\sqrt\pi)$ on utilise également le développement en série et on trouve $F(\sqrt\pi) = 5,397863049....$

mais le lien entre les deux images par F de 1 et $\sqrt\pi$ n'est pas évident sauf à dire que la seconde est supérieure à la première

je signale par ailleurs que la limite pour x infini de F(x) est d'après les intégrales de Fresnel:

$$3\sqrt\frac{\pi}{2}= 1,879971206...$$

cordialement

gerard0 · November 2012

Bonjour.

Es-ce que c'est bien un 6 dans f(x) ? Car si c'était un paramètre, la troisième question serait plus compréhensible.

Cordialement.

juan51 · November 2012

Merci de vos réponses ,

je me doutais qu il y avait un problème...Merci

breukin · November 2012

Ou alors la question 2 est relative au maximum d'une primitive, et non de la primitive (et c'est toujours au même point $ \sqrt{\pi} $ où elle est maximum, maximum devant être entendu non pas comme la valeur maximum atteinte, mais comme le point où elle atteint le maximum)

Et alors "si F(1)=5" a du sens : ça fixe la constante : $ \displaystyle F(x)=5+6\int_1^x \sin t^2 dt $
Et $ \displaystyle F(\sqrt{\pi}) = 5+6\int_1^{\sqrt{\pi}} \sin t^2 dt $

Primitive...

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