Convergence d'une série

Autre idée, plus "locale". On a : $S=\underset{n=0}{\overset{+\infty }{\sum }}\frac{n^{2}}{2^{n}}=\underset{n=1}{\overset{+\infty }{\sum }}\frac{n^{2}}{2^{n}}=\underset{p=0}{\overset{+\infty }{\sum }}\frac{(p+1)^{2}}{2^{p+1}}$,
d'où : $2S=\underset{n=0}{\overset{+\infty }{\sum }}\frac{n^{2}+2n+1}{2^{n}}$, et alors $2S-S=...$, et recommencer.
Mais $\underset{n=1}{\overset{+\infty }{\sum }}\frac{1}{2^{n}n^{2}}$ est plus rigolo, et pourquoi pas $\underset{n=1}{\overset{+\infty }{\sum }}\frac{(-1)^{n-1}2^{n}}{n^{2}}$ .
Bonne journée.
RC

Raymond Cordier écrivait:

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> Mais $\underset{n=1}{\overset{+\infty }{\sum }}\frac{1}{2^{n}n^{2}}$ est plus rigolo.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_polylogarithme
voir Li_2(1/2)

Ne le prends pas mal, je voulais juste inscrire ta deuxième méthode dans quelque chose de plus général, pour ne pas que ça ait l'air d'une astuce ad hoc. Cette double transformation d'Abel est l'exact pendant de la double intégration par parties qui intervient dans le calcul de
\[
\int_0^\infty x^2 e^{-x}\,dx.
\]

D'un point de vue probabiliste : d'un côté on calcule le moment d'ordre 2 de la loi géométrique de paramètre 1/2, de l'autre c'est le moment d'ordre 2 de la loi exponentielle de paramètre 1. L'analogie va plus loin : si $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda >0$, alors la partie entière de $X$ suit la loi géométrique
\[
\mathbb{P}(\lfloor X \rfloor = n) = e^{-\lambda n}(1-e^{-\lambda}) \qquad(n \in \N).
\]

@ Ju’x

Je connais bien la transformation d'Abel et je l'utilise ès-qualités quand c'est nécessaire, généralement pour accélérer la convergence des séries, mais ici la référence à ce procédé me semble superflue. C'est juste histoire de causer et ça ne fait pas avancer la solution. Mais bon, chacun peut raconter ce qui lui plaît, je ne le prends ni mal ni bien, les gens causent, c'est tout.

Ce n'est pas la première fois que sur ce forum on signale l'analogie entre la dérivée des fonctions et l'opérateur de différence des suites, qui à la suite $u_{n}$ associe la suite $u_{n+1}-u_{n}$. Et l'analogie entre l'intégration des fonctions et l'opérateur de sommation des suites, qui à la suite $u_{n}$ associe la suite $\overset{n}{\underset{k=0}{\sum }}u_{k}$, qui est en quelque sorte la réciproque du précédent.

Il en résulte l'analogie entre l'intégration par parties et la transformation d'Abel, qu'on pourrait appeler "sommation par parties". Bon, c'est dit, c'est dit, on est ben aise d'le savoir.

Dans les traités de math fin XIXème-début XXème siècle, il y avait souvent un chapitre "différences finies", qui justement traitait de cet opérateur-différence noté $\Delta $. L'adjectif "fini" signifiait que l'on considérait deux valeurs de la variable ayant une différence donnée, généralement $1$, et s'opposait à "infiniment petit", ou "infinitésimal", ces "différences infinitésimales" étant celles du calcul différentiel, le $dx$ remplaçant le $\Delta x$. Dans le mot "différentiel", il demeure la trace de "différence".

De même le signe de l'intégrale $\int $ n'est autre qu'un $S$ déformé et on le dénomme souvent "somme". On pourrait le considérer, à la physicienne, comme la somme de tous les "éléments différentiels" $f(x)dx$.

De même le "théorème des accroissements finis" s'appelle ainsi parce que la variable y subit un accroissement fini, qui a une valeur réelle assignable, et la fonction aussi, et ces accroissements se trouvent reliés à des accroissements infinitésimaux dans la dérivée. Le mot "fini" y a exactement le même sens que dans "différence finie".

Ce sont quelques compléments d'information sur ces questions, qu'il n'est pas nécessaire de rappeler à tout bout de champ, mais qui ne sont pas mauvais à savoir.

Bien cordialement,
RC

Bonjour, juste pour le plaisir de titiller un peu RC,

ès étant contraction de "en les", qualités doit se mettre au pluriel.

Mais ne pas le prendre mal, tes messages sont parfaits du point de vue de l'orthographe (c'est si facile au clavier de commettre des coquilles...).

Bonne journée.

Raymond Cordier a écrit:

Je connais bien la transformation d'Abel et je l'utilise ès-qualités quand c'est nécessaire, généralement pour accélérer la convergence des séries, mais ici la référence à ce procédé me semble superflue. C'est juste histoire de causer et ça ne fait pas avancer la solution. Mais bon, chacun peut raconter ce qui lui plaît, je ne le prends ni mal ni bien, les gens causent, c'est tout.

Pardon, ô grand maître des exercices de colles. Comment ai-je pu oser commettre une remarque « superflue » après l'une de vos interventions ! Elle ne faisait même pas avancer la solution. Quel sot je fais.

Merci de nous libérer de l'obscurité de notre inculture avec une telle gentillesse.

Alors on pourrait interpréter Régisseur des Colles.

La première méthode indiquée est peut-être la plus simple pour cloclo.
Il faut simplement généraliser le problème, et vouloir calculer :
$ \displaystyle \sum_{n=0}^\infty n^2 z^n $
au lieu de vouloir seulement calculer :
$ \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{n^2}{2^n} $
Pour ce faire, on part de :
$ \displaystyle \sum_{n=0}^\infty z^n = \frac{1}{1-z} $
Qu'on dérive :
$ \displaystyle \sum_{n=1}^\infty nz^{n-1} = \frac{1}{(1-z)^2} $
puis qu'on multiplie par $ z $ :
$ \displaystyle \sum_{n=0}^\infty nz^n = \frac{z}{(1-z)^2} $
Oh tiens, on a fait apparaître $ n $, et si on continue à dériver et à multiplier par $ z $, on va faire apparaître $ n^2 $ !

C'est assez classique de voir une série particulière comme étant la valeur d'une fonction elle-même définie par une série.