Produit de séries convergentes

Bonjour,
Quelqu'un pourrait-il me guider pour cet exercice ? Je n'ai aucune idée sur la façon de l'aborder. Comment un produit de séries peut-il être comparé à une somme ?
Soit $ n\in \mathbb{N} $ avec $n \geq 2$. On note $p_{1},p_{2},\ldots,p_{k}$ les entiers premiers inférieurs ou égaux à $n$.
Montrer que \[
\left ( \sum_{j=0}^{+\infty }\frac{1}{p_{1}^{j}}\right )\times \left ( \sum_{j=0}^{+\infty }\frac{1}{p_{2}^{j}}\right )\times\ldots\times \left ( \sum_{j=0}^{+\infty }\frac{1}{p_{k}^{j}}\right )> 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}+\ldots + \frac{1}{n}
\] Merci d'avance.
Marc