Divisibilité par 7

Loga · October 2012

Bonjour à tous! Je bloque sérieusement à un problème - si quelqu'un peut m'expliquer, par quoi commencer, svp, voici l'énoncé:

Démontrer de deux façons que, pour tout entier naturel n, l'entier 2*9ⁿ - 9*2ⁿ, est divisible par 7.
J'ai essayé la factorisation, en vain...
Merci

jeroM · October 2012

bonjour,
voir ce que donne l'écriture modulo 7 pour la 1ère méthode

peut être une récurrence pour la 2ème méthode

Loga · October 2012

1/ Soit 2*9ⁿ - 9*2ⁿ ≡ 0 (9)

2/ Supposons 2*9ⁿ - 9*2ⁿ = 7a.
Montrons la propriété vraie au rang (n+1), soit
2*9ⁿ*9 - 9*2ⁿ*9 = 7a

gilles benson · October 2012

une méthode raisonnable consisterait à remarquer que 2 et 9 sont congrus modulo 7 puis à regarder ce qui se passe pour les puissances.

Loga · October 2012

Pour 2*9ⁿ => 2 ≡ 2 (7) et 9ⁿ ≡ 2ⁿ (7)
Pour 9*2ⁿ => 9 ≡ 2 (7) et 2ⁿ ≡ 2ⁿ (7)

Soit
2*9ⁿ - 9*2ⁿ ≡ 2*2ⁿ - 2*2ⁿ (7)
2*9ⁿ - 9*2ⁿ ≡ 0 (7)

Bonne démarche?

Loga · October 2012

Pour la récurrence,

Initialisation si n=2
162-36=126= 7x18

Hérédité pour (n+1)
2x9x9ⁿ - 9x2ⁿx2 =7a ...??

Fin de partie · October 2012

l'utilisation de => n'est pas correcte ci-dessus.

Deuxième méthode:

Tu introduis la suite $U_n=2\times 9^n-9\times 2^n$ et tu n'oublies pas de calculer $U_2$

En espérant ne pas avoir écrit (trop) d'énormités.

Fin de partie · October 2012

Hérédité pour (n+1) 2x9x9n - 9x2nx2 =7a ...?? a écrit:

Loga:
Et si tu factorisais 18=2x9

Avant de parler hérédité il faut écrire la propriété qu'on veut démontrer par récurrence.

Et pour démontrer que la propriété sera vraie au rang n+1, il faut utiliser obligatoirement le fait qu'elle est vraie au rang n.

Loga · October 2012

ça me donne du (2x9ⁿ)18 - (9x2ⁿ)18

Je suis d'accord. Pour l'initialisation, et le début de la récurrence, j'ai pas développé car c'est quelque chose d'acquis depuis Septembre.

Fin de partie · October 2012

Citation:
ça me donne du $(2\times9^n)\times 18 - (9\times 2^n)\times 18$

Et si tu factorises 18, qu'obtiens-tu?

Loga · October 2012

[(2x9ⁿ)-(9x2ⁿ)] x 18 ?

EDIT: Soit 7a x 18

Fin de partie · October 2012

Oui, et le truc entre [ ] cela ne te dit rien?

Loga · October 2012

"EDIT: Soit 7a x 18"
Pardon... Donc si je reviens à ma propriété c'est égal à 7a avec a = 18 ?

Fin de partie · October 2012

Tu y es presque mais c'est mal rédigé.

Il faut considérer la propriété P(n): " $2\times 9^n-9\times 2^n$ est divisible par 7"

On vérifie qu'elle est vraie pour n=2

Puis, on suppose qu'elle est vraie pour n et on veut montrer que cela implique qu'elle est vraie pour n+1.

A la question:

Pardon... Donc si je reviens à ma propriété c'est égal à 7a avec a = 18 ?

non.

C'est vrai que pour n=3

Fin de partie · October 2012

Ce que vaut le "a" on s'en moque (cette valeur change quand n varie)

Loga · October 2012

Pour n=2, P(2) = 126 soit 7x18. Donc propriété vraie au rang 2. (comme au rang n=1 et n=0)

Pour n+1, P(n+1) = 2x9ⁿ⁺¹ - 9x2ⁿ⁺¹ = 7 x a
= [2x9ⁿ - 9x2ⁿ] x 18
= 7 x a x 18

Fin de partie · October 2012

Pour $n \ge 2$

$2\times 9^{n+1}-9\times 2^{n+1}=18(2\times 9^n-9\times 2^n)$

Donc si $ 2\times 9^n-9\times 2^n$ est divisible par 7 alors:

$2\times 9^{n+1}-9\times 2^{n+1}$ est aussi divisible par 7

TOTALEMENT FAUX B-)-

Ce qui est vrai:

$2\times 9^{n+1}-9\times 2^{n+1}=18(9^{n+1}-2^{n+1})$

Loga · October 2012

Ok, c'est le 18 qui me dérange en fait...

Fin de partie · October 2012

Loga:
Oublie ce "a" .
ce nombre dépend de n et on n'en a pas besoin.

Fin de partie · October 2012

Ok, c'est le 18 qui me dérange en fait... a écrit:

18 ne joue pas de rôle particulier.

un nombre divisible par 7 multiplié par n'importe quoi (un entier) donne encore un nombre qui est divisible par 7

Fin de partie · October 2012

Loga:

Tu ne comprends pas:

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,783880,783955#msg-783955

?

Cidrolin · October 2012

Bonjour,

On peut poser $u_n=\dfrac {2 \times 9^n - 9 \times 2^n}{126}$ pour $n \in \N$

On vérifie que pour tout $n \geq 2$ : $u_{n}=11 u_{n-1}-18 u_{n-2}$.

Les $u_{n}$ sont donc tous entiers, $2 \times 9^n - 9 \times 2^n$ est toujours

un multiple de $126$, c'est donc toujours en particulier un multiple de $7$

Loga · October 2012

un nombre divisible par 7 multiplié par n'importe quoi (un entier) donne encore un nombre qui est divisible par 7 a écrit:

D'accord, je le retiendrai pour la prochaine fois, merci beaucoup

Et pour la 1ère méthode, la démarche est-elle bonne? (même si je dois revoir la rédaction)

Fin de partie · October 2012

Voir plus bas

Fin de partie · October 2012

9 et 2 sont congrus modulo 7

et il en va de même pour toutes leur puissances entières ($9^n$ et $2^n$)

Mieux rédigé,
http://www.les-mathematiques.net/phorum/profile.php?5,7322

me semble correct.

Fin de partie · October 2012

On ne doit pas prendre ses rêves pour la réalité en mathématiques B-)-

Loga · October 2012

Cidrolin écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,783880,783964#msg-783964

Je vois à peu près l'idée. Merci !

Fin de partie écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,783880,783970#msg-783970

Oui. On peut donc dire 9 ≡ 2 (7)
9ⁿ ≡ 2ⁿ (7)
Donc 9x2ⁿ ≡ 2x9ⁿ (7)
9x2ⁿ - 2x9ⁿ ≡ 0 (7)

[Inutile de répéter des messages précédents (surtout si on ne coche pas la case LaTeX !). Un lien suffit. AD]

LaRecherche2 · October 2012

gilles benson écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,783880,783891#msg-783891
[Inutile de répéter un message précédent. Un lien suffit. AD]

Je pense qu'il est inutile de compliquer. Gilles Benson a déjà tout dit. 2 et 9 étant congrus modulo 7, la meilleure façon de vérifier pour tout n, est de remplacer 9 par 2, ou vice-versa. On obtient
2ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹≡0 (7), ou encore
9ⁿ⁺¹-9ⁿ⁺¹≡0 (7).

Christian Vassard · October 2012

On peut aussi remarquer que :
$2 \times 9^n - 9 \times 2^n = 2(9^n-2^n)-7 \times 2^n$
Bien cordialement,
Christian

Fin de partie · October 2012

Je pense qu'il est inutile de compliquer. a écrit:

Qui complique?

Dans la question initiale, il est demandé deux méthodes de démonstration.

Christian:

Et tu fais comment pour démontrer par récurrence que $9^n-2^n$ est divisible par 7?
(sans retomber dans la démonstration par congruence)

Je crois que j'ai la réponse à ma question:
$9^n-2^n$ est divisible par 9-2=7.

GG · October 2012

@Fdp, pour la récurrence, il faut supposer simultanément 2.9ⁿ - 9.2ⁿ et 9ⁿ - 2ⁿ multiples de 7 :

2.9ⁿ⁺¹ - 9.2ⁿ⁺¹ = 18(9ⁿ - 2ⁿ) multiple de 7

(9ⁿ - 2ⁿ)(9+2) = (9ⁿ⁺¹ - 2ⁿ⁺¹) + (2.9ⁿ - 9.2ⁿ)

et donc 9ⁿ⁺¹ - 2ⁿ⁺¹ est multiple de 7.

JLT · October 2012

Soit $a=2$ et $b=9$. On a

$$ab^n-ba^n=ab(b^{n-1}-a^{n-1})=ab(b-a)(b^{n-2}+ab^{n-3}+\cdots+a^{n-2}).$$

GG · October 2012

oui JLT, mais l'idée, c'était le plaisir de faire disparaître ces petits points par une récurrence

Heddi · October 2012

Concernant la factorisation et sans utiliser la récurrence :
$2 \times 9^{n+1} - 9 \times 2^{n+1} = (2\times 9)\times(9^n - 2^n)$

Et si on factorise $9^n - 2^n$, on obtient...

Ce qui montre le résultat pour tout $n\geq 1$, il ne reste plus qu'à le vérifier pour $n=0$

JLT · October 2012

@Heddi : c'est bien ce que j'ai écrit deux messages plus haut.

gram · October 2012

Bonsoir,
concernant la récurrence, il me semble qu'on peut écrire:

$2.9^{n+1}-9.2^{n+1}=9(2.9^{n}-9.2^{n})+9.9.2^n-9.2^{n+1}$
$=9(2.9^{n}-9.2^{n})+9.2^n.(9-2)$

J'ai peut-être lu un peu vite, mais je ne crois pas avoir vu cette variante
Cordialement

Heddi · October 2012

@JLT
Effectivement, j'ai écrit mon message trop vite et je n'avais pas vu la "seconde page" - désolé !

Bonne soirée

catapoulpe · November 2012

personnellement, je trouve ca pour l'hérédité :

2 x 9ⁿ⁺¹ - 9 x 2ⁿ⁺¹ = 2 x 9ⁿ x 9 - 9 x 2ⁿ x 2 = 18 x 9ⁿ - 18 x 2 ⁿ = 18 ( 9ⁿ - 2ⁿ )

Fin de partie · November 2012

Catapoulpe:
Mais écrit de la sorte cela n'aide pas, si on veut faire un raisonnement par récurrence seulement.

Il faudrait que tu lises le fil de message complètement.

Christian Vassard · November 2012

Fin de partie a écrit:

Et tu fais comment pour démontrer par récurrence que $ 9^n-2^n$ est divisible par 7?

Excuse moi, j'ai été absent donc je n'ai pas répondu. Mais bien évidemment, tu as trouvé la réponse. L'identité remarquable bien connue $a^n-b^n$ permet de conclure... sans récurrence!
Bien amicalement,
Christian

Fin de partie · November 2012

Christian:

Il s'agissait de donner une preuve totalement par récurrence de ce résultat sans utiliser la réduction modulo 7.

Cela a été esquissé dans ses grandes lignes par plusieurs intervenants plus haut.
(voir par exemple: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,783880,785379#msg-785379 )

Une autre preuve plus directe, sans récurrence, a été donnée plus haut: il suffit de réduire modulo 7.

Christian Vassard · November 2012

Oui, il existe des preuves variées de ce genre de résultat. Nous en avons là quelques exemples intéressants.
Bien amicalement,
Christian

breukin · November 2012

Il s'agit de faire apparaître l'expression de rang $ n $ en manipulant l'expression de rang $ n+1 $.

Par exemple, en écrivant :

$ 2.9^{n+1} - 9.2^{n+1} = 2.9.9^n - 9.2.2^n = 9.(2.9^n - 9.2^n + 9.2^n) - 9.2.2^n = 9.(2.9^n - 9.2^n) + 81.2^n - 18.2^n = 9.(2.9^n - 9.2^n) + 63.2^n $
Donc si $ 2.9^n - 9.2^n $ est multiple de $ 7 $, comme $ 63 $ l'est aussi, $ 2.9^{n+1} - 9.2^{n+1} $ l'est aussi.

C'est pourtant simple, il suffit d'avoir l'esprit clair et non embrouillé (autrement dit, de savoir d'où on vient et où on veut aller).

breukin · November 2012

Oups, je n'avait pas vu qu'il y avait 3 pages à la discussion !
J'ai donné ma réponse sur la foi de ce que j'y voyais en fin de première page.

AXIOME · November 2012

Bonjour,
Si raisonnement par récurrence,tu remplaces 9 par 2+7 au rang n+1.

Divisibilité par 7

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion