Séries de même nature

je pose $v_n = \sum_{k=2^n}^{2^{n+1}} u_k $

par sommation par parties (car les suites sont positives) , la série des $u_n$ est de même nature que celle des $v_n$

or $u_n$ décroissante, en minorant les $u_k$ dans $v_n$ par le premier terme , et en remarquant que $2^{n+1} - 2^{n} = 2^n$, on a :

$ 2^n u_{2^{n+1}} \le v_n \le 2^n u_{2^n} $

il suffit de ferme des sommes partielles pour conclure

Cordialement

On appelle aussi parfois ce critère la "loupe de Cauchy".

La série des $ \displaystyle v_n $ est issue de celle des $ \displaystyle u_n $ par associativité, modulo une légère erreur de définition :
$ \displaystyle v_n = \sum_{k=2^n}^{2^{n+1}-1} u_k $
Autrement dit, la suite des sommes partielles de la série $ \displaystyle v_n $ est une sous-suite de la suite des sommes partielles de la série $ \displaystyle u_n $, lesquelles sont deux suites croissantes.
Ce fait est la la base de la démonstration que les deux suites sont de même nature.