Alcoves de l'ours polaire

Plus de nouvelles du Fredj. Au fait, pour Jules et Jim, sachez que pour un excellent exposé de la conjecture de Syracuse concis et complet il y a :

http://math.scranton.edu/monks/talks/CollatzSurvey/Slides.pdf

Pour du moins connu, regardez directement la dernière image, la fractale de Syracuse.

En général, je considèrais plutôt la transformation x-->x/2 si x est pair et x-->(3x+1)/2 si x impair lorsque je me perdais dans l'exploration de ce monstre mathématique.

Un petit problème que je m'étais posé me revient en visionnant vos alcoves :
Soit le vol de n jusqu'à atteindre le premier 1. Soit I(n) le nombre d'entiers impairs rencontrés pendant ce vol et P(n) le nombre d'entiers pairs. (c'est un peu le concept du "parity vector" qui donne lieu à de beaux trucs cf. exposé).

Exemple :

15-->23-->35-->53-->80-->40-->20-->10-->5-->16-->8-->4-->2-->1

P(15)=8
I(15)=6

J'avais en son temps étudié la différence I(n)-P(n) (en moyenne) et je crois bien me rappeler avoir osé penser que :

$\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=0}^{n} I(i)-P(i)=+\infty$

Je pense même que :

$\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=0}^{n} I(i)/\sum_{i=0}^{n} P(i)$ existe.

?

@+