Statistique exhaustive loi de Cauchy

Bonjour,

Dans un exercice, on me demande de proposer une statistique minimale suffisante pour le paramètre de location d'une loi de Cauchy , dont le paramètre d'échelle vaut par ailleurs 1.

Vu les caractéristiques d'une telle loi, j'aurais tendance à proposer la médiane des observations comme telle statistique, mais je rame pour arriver à le prouver. J'ai repris la définition d'une statistique exhaustive, j'ai essayé avec le théorème de Fisher-Neymann, mais je n'y parviens pas. Quelqu'un aurait une piste à m'indiquer ?
Merci.
Robert

[Augustin Cauchy (1789-1857) te remercie pour sa majuscule. AD]

Réponses

  • Combien peut coûter une loi de Cauchy ? Je retourne chanter les louange de la loi normale.

    bd
  • Bonjour,

    Avec la Cauchy, pas d'échappatoire : les stats d'ordre (toutes !).
    Je n'ai pas de référence sous la main, mais une recherche Google devrait aider à trouver une preuve.
    Amicalement,
  • Merci Kuja,

    Je ne suis pas sûr d'avoir compris ce que tu entends par toutes les statistiques d'ordre ?
    Si c'est la statistique qui reprend toutes les observations mais classées en ordre (croissant ou décroissant)), il est en effet assez facile de prouver qu'elle est suffisante. Quelles sont les autres stats d'ordre auxquelles tu fais référence ?

    En outre, ce qui m'étonne, c'est que ce soit si difficile d'établir que la statistique consistant à ne retenir que la seule observation "du milieu", est aussi suffisante. J'ai essayé de procéder par analogie avec ce qui se passe pour une loi uniforme (on retient la valeur la plus petite et la plus grande comme estimateurs), mais rien !

    Robert
  • Bonjour,

    J'utilisais le pluriel dans le sens le plus petit, le deuxième plus petit, etc, le deuxième plus grand, le plus grand, chacun étant pour moi une stat d'ordre. Dans "ma" définition, les stats d'ordre sont donc toutes les observations classées dans l'ordre; je ne sais pas si c'est standard de le dire comme ça.
    Cela étant, il est effectivement facile de prouver qu'elle est suffisante.
    Mais ce que je ne sais plus faire, c'est démontrer qu'elle est minimale.
  • Pour démontrer qu'elle est minimale, j'utilise une résultat qui dit qu'une statistique S est suffisante minimale, si:
    Pour tous échantillons X et Y de taille n, le rapport des densités conjointes P(X)/P(Y) est indépendant du paramètre ssi S(X) = S(Y)
    C'est plus lisible en utilisant les symboles mathématiques, mais moi et Latex....

    Pour une loi de Cauchy, il est clair que la statistique d'ordre S=(X(1),.....,X(n)) répond à cette condition.
  • Robert Sojic, ça n'a pas l'air difficile de trouver deux vecteurs d'observations $(x_1, \ldots, x_n)$ et $(x'_1, \ldots, x'_n)$ qui ont la même médiane mais les vraisemblances associées ne sont pas les mêmes, non ? Ceci ne revient-il pas à dire que la médiane n'est pas exhaustive ? (pas sûr j'ai oublié la défintion)
  • Merci Steven,

    La définition de l'exhaustivité ne nécessite pas la recours à la vraisemblance, mais après tout tu as raison: c'est que tout simplement la médiane n'est pas une statistique suffisante. J'étais tellement concentré sur le fait que dans ce cas précis, la médiane fournit un estimateur du paramètre de localisation, que je n'ai même pas imaginé qu'elle ne puisse pas être une statistique suffisante.

    Pour rappel, on dit qu'une statistique t est exhaustive ssi la densité conditionnelle de X sachant t, est indépendante du paramètre inconnu dans la loi de X.

    Robert
  • Ouais et y'a une équivalence avec une certaine factorisation de la vraisemblance.
  • En effet, je n'avais pas fait le rapprochement tout de suite. Merci pour ta remarque, cela m'oblige à jongler avec les concepts.

    Tu fais référence au thèorème de Fisher-Neyman, qui affirme que si je peux mettre la vraisemblance sous la forme d'un produit de 2 fonctions:
    - l'une indépendante du paramètre inconnu;
    - l'autre étant une fonction composée de la statistique
    alors cette statistique est minimale suffisante.
  • Il me semble qu'une condition suffisante pour qu'une statistique $s(X)$ soit suffisante -minimale est qu'elle satisfasse \`a la propriété suivante: si $g$ est bornée et si $\mathbb{E}_{\theta}(g(s(X))=0$ pour tout $\theta$ alors $g\equiv 0.$ Or on peut montrer (par Choquet Deny, démonstration plus simple demandée) que $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{g(y-\theta)}{1+y^2}dy=0$ pour tout $\theta$ alors $g\equiv 0.$ Donc donc si $X_1,\ldots,X_N$
    sont iid de loi de Cauchy $C(\theta,1)$, alors $ X_1$ ou bien $(X_1+\cdots+X_N)/N$ sont suffisantes minimales.
  • Je pensais que la propriété en question constituait seulement la définition d'une statistique complète.Il faudrait en plus prouver qu'elle est suffisante, pour seulement après pouvoir déduire qu'elle est minimale suffisante.

    Selon vous, cette propriété suffirait donc pour établir le caractère suffisant et minimal ?

    Robert
  • Erreur et excuses de ma part: complet+suffisant $\Rightarrow$ suffisant-minimal, et non: complet$\Rightarrow$ suffisant-minimal. Et $X_1$ ou $X_1+\cdots+X_N$ ne sont point suffisants ici.
  • Faisons une synth\`ese de ce que j'ai compris apr\`es tout le monde. Si $X_1,\ldots,X_N$ sont indépendantes de loi $C(\theta,1),$ soit
    $S(X)=X^{(1)},\ldots,X^{(N)}$ la statistique d'ordre. Ces nombres $X^{(i)}$ sont distincts. Alors $S(X)$ est évidemment suffisante. Elle n'est pas compl\`ete. Elle est minimale par le crit\`ere Fisher-Neyman. En effet soit $X$ et $Y$ des échantillons de m\^eme taille tels $\theta\mapsto f_{\theta}(X)/f_{\theta}(Y)$ soit constant. Prenant les log et la dérivée en $\theta$ et introduisant la fraction rationnelle en $\theta:$
    $$F_X(\theta)=\sum_{i=1}^N\frac{X^{(i)}-\theta}{1+(X^{(i)}-\theta)^2}$$ on sait donc que pour tout $\theta$ réel on a $F_X(\theta)=F_Y(\theta).$ On fait alors appel au théor\`eme de premi\`ere année des études supérieures, qui est l'unicité du développement en éléments simples de premi\`ere et deuxi\`eme esp\`ece d'une fraction rationnelle réelle. Cela entra\^ine $X^{(i)}=Y^{(i)}$ pour tout $i=1,\ldots,N$ car les $X^{(i)}$ sont distincts ainsi que les $Y^{(i)}$. Bref, $S(X)=S(Y),$ ce qu'on voulait.
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