une inégalité

Bonjour,

je cherche à prouver l'inégalité :
intégrale de 0 à +infini xe-x/(1-xe-x)² < (e/(e-1))²

j'ai essayé de majorer l'intégrale, intégration par parties, changement de variables...mais rien de bien brillant

si vous avez des idées merci

PS pour info cette intégrale est égale à somme de 1 à infini de la série de terme général n ! / nn
ne me demandez pas comment ça se démontre...!

Réponses

  • Indication : comment se comporte le dénominateur ?
  • il tend vers 1 ?
  • Je pensais à un comportement plus globlale : majoration/minoration.
  • Mais comment varie-t-il ?
  • En fait, il est plus simple de démontrer que cette intégrale est égale à somme de 1 à infini de la série de terme général n ! / n^n que d'établir la majoration souhaitée...
  • @raymond cordier : ah bon ? je vois pas trop comment...avec des séries entières plus peut être ?
  • Bonjour pancarte,

    A mon humble avis, il faudrait essayer de démontrer cette inégalité en 2 fois, en travaillant tout d'abord sur l'intervalle [0,1], puis sur [1,+oo[ : si je ne suis pas trop rouillé...

    Bien cordialement,
    Clothoide
  • Le dénominateur atteint son maximum en $x=1$, que vaut-il ? Et que vaut $ \displaystyle \int_0^{+\infty}xe^{-x}\mathrm{d}x$ ?

    Répondre à ces deux questions permet de conclure aisément, si je ne m'abuse.
  • @pancarte. En effet. Il est bien-connu que si $\left| x\right| <1$ alors : {\ }$\overset{+\infty }{\underset{n=1}{\sum }}nx^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^{2}}$.

    Si $x\geq 0$, alors $0\leq xe^{-x}\leq \frac{1}{e}<1$.

    On en déduit : $\int_{0}^{+\infty }\frac{xe^{-x}}{(1-xe^{-x})^{2}}dx=\int_{0}^{+\infty }xe^{-x}\overset{+\infty }{\underset{n=1}{\sum }}n(xe^{-x})^{n-1}dx$

    $=\overset{+\infty }{\underset{n=1}{\sum }}n\int_{0}^{+\infty }x^{n}e^{-nx}dx$.

    Pour $\alpha \in R$, $\alpha >0$, et $n\in N$, on calcule par récurrence $J_{n}(\alpha )=\int_{0}^{+\infty }x^{n}e^{-\alpha x}dx$, et l'on trouve : $J_{n}(\alpha )=\frac{n!}{\alpha ^{n+1}}$. Il faut justifier l'interversion série-intégrale, cela se peut de plusieurs façons.

    Bien cordialement,
    RC
  • C'est quand même beaucoup plus compliqué je trouve que la question initiale (qui, avec une ou deux questions intermédiaires devient un problème classique à ce niveau).
  • Il manque des mots dans mon dernier message. Je voulais dire qu'avec une ou deux questions intermédiaires bien choisies, le problème initiale devenait un problème classique de terminale.

    Bon, mais de toute façon c'est bien subjectif.
  • merci !
    c'est issu d'un oral donné aux CCP (concours communs polytechniques) donc les séries entières sont une bonne idée...
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