normes équivalentes

ted2 · May 2004

Comment peut on montrer que les normes ||.||1 ||.||2 et ||.||$\infty$ sont équivalentes, je sais qu'il faut utiliser $\alpha$||.||1 $\leq$||.||2 $\leq$ $\sigma$||.||1 mais je bloque là
Merci d'avance

jaybe · May 2004

Ces normes ne sont pas équivalentes sur n'importe quel espace !

ted2 · May 2004

dans $\R$$^n$

ted2 · May 2004

dans $\R$$^n$

Utilisateur anonyme · May 2004

m'enfin il faut bouger les mains !

tu as sans doute obtenu au moins une inégalité ?

jaybe · May 2004

Il suffit de comparer toute norme à $|| \ \! . \ \! ||_{\infty}$, qui se trouve en pratique être la norme la plus adaptée aux calculs.

fikri · May 2004

soit $N$ une norme sur $\R^n$,
$e_1,....e_n$ une base de $\R^n$
$x=\sum_1^n \alpha_{i=1} e_i \in \R^n$
$N(x)=\sum_{i=1}^n \left|\alpha_i\right| N(e_i)\leq (\sum_{i=1}^nN(e_i))\left\|x\right\|_{\infty}$
donc t a une inegalité de plus $N$ et continu sur $\R^n$ muni avec la norm sup,
or la sphere unité est compacte donc N atteint son borne inf sur $S_1$....

trivecteur1 · May 2004

La norme $||...||_1$ s'appelle parfois {\it taxicab norm} ou norme du taxi de New-York, cf.
\lien{http://en.wikipedia.org/wiki/Normed_vector_space}

vvv

ted2 · May 2004

merci
j'ai obtenu une égalité de ce style là :
||.||$\infty$$\leq$||.||1$\leq$ n*||.||$\infty$

ted2 · May 2004

j'ai prouvé que la norme 1 est équivalente à la norme $\infty$ et la norme 2 est équivalente à la norme $\infty$. Est ce ça suffit pour montrer que la norme 1 est équivalente à la norme 2 ?

trivecteur1 · May 2004

Ben oui, l'équivalence est une relation .... d'équivalence donc transitive.

vvv

normes équivalentes

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