réunion de deux s.e.v

salut !

quelqu'un peut m'expliquer cette proposition ?

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je veux comprendre surtout l'exemple qu'il a cité

Réponses

  • Trace deux droites sécantes en O. Est-ce que leur réunion est un espace vectoriel ?
    The real danger is not that computers will begin to think like men, but that men will begin to think like computers.
            -- Harris, Sidney J.
  • La réunion n'est pas stable en général pour l'addition.
    Amicalement
    Pappus
  • nicolas.patrois
    Merci pour ta réponse, mais ... comment je peux constater que leur réunion est un espace vectoriel ou non ?

    [Inutile de répéter l'avant dernier message. AD]
  • Au hasard, en regardant la définition d'un espace vectoriel et en testant si ça marche :) Comme suggéré par Pappus, prend un vecteur dans chaque droite et fait leur somme. Que constates tu ?
  • Sans rigueur : Soit $\K$ un corps commutatif et $\mathbb{E}$ un $\K$-espace vectoriel. L'on considère $A$ et $B$, deux $\K$-sous-espaces vectoriels propres stricts de $\mathbb{E}$ tels que nous n'ayons ni $A\subset B$ ni $B\subset A$. Supposons un instant que $A\cup B$ soit un $\K$-sous espace de $E$. Alors $a\in A-\{0_{\mathbb{E}}\}$ et $b\in B-\{0_{\mathbb{E}}\}$ seraient tels que $a+b\in A\cup B$ (stabilité de la loi interne $+$). Par suite, si l'on avait $a+b\in A$, l'on aurait $b=(a+b)-a\in A$. De même, si l'on avait $a+b\in B$, l'on aurait $a=(a+b)-b\in B$. Dans un cas comme dans l'autre (méthode de disjonction des cas), l'hypothèse nous conduit indubitablement à une contradiction. D'où le résultat !

    A +
  • sincèrement j'ai pas compris, parce que j'ai lu pas mal de cours d'algèbre, mais j'ai jamais rencontré une représentation graphique d'un e.v. , alors là je me demande, comment présenter un e.v. par une droite ou bien un plan, qu'est ce qu'un vecteur d'une droite vectorielle et comment sommer deux vecteurs.. :-(
  • $A=\{(x,0)\mid x\in\R\}\subset \R^2$ est un sous-espace vectoriel de $\R^2$. C'est une droite vectorielle (sous-espace de dimension 1).
    $B=\{(0,y)\mid y\in\R\}\subset \R^2$ est une autre droite vectorielle.
    Peux-tu dessiner $A$ et $B$ dans $\R^2$ ?
    Est-ce que $A\cup B$ est un sous-espace vectoriel de $\R^2$ ?
  • @Zarga : Si tu considères deux droites vectorielles distinctes $D_1$ et $D_2$ de $\R^2$, il va de soi que ces deux droites sont supplémentaires dans $\R^2$, de sorte que $\R^2=D_1\oplus D_2$. Ok ? Le sous-ensemble $D_1\cup D_2$ de $\R^2$ est-il un sous-espace de $\R^2$ ? Supposons qu'il le soit ! Sous cette hypothèse, les vecteurs $u\in D_1-\{0_{\R^2}\}$ et $v\in D_2-\{0_{\R^2}\}$ seraient tels que $u+v\in D_1\cup D_2$ (par hypothèse, il y a stabilité de la loi interne $+$ induite sur $D_1\cup D_2$). Ok ? Comme il est impossible d'avoir $u+v=0_{\R^2}$, alors, ou bien l'on a $u+v\in D_1$, ou bien l'on a $u+v\in D_2$. Finalement, comme $D_1$ est un sous-espace de $\R^2$, le fait d'avoir $u+v\in D_1$ entrainerait immédiatement que $v=(u+v)-u\in D_1$. Est-ce possible ? De même, le fait d'avoir $u+v\in D_2$ entrainerait immédiatement que $u=(u+v)-v\in D_2$. Est-ce possible ? Conclusion !

    A +
  • A priori. il ne faut pas confondre l'espace engendré par la famille des droites vectorielles, Ox et Oy, et la réunion de ces droites.
    La somme d'un vecteur de Ox et d'un vecteur de Oy est dans R² mais n'est pas en général sur un de ces axes.
    donc il n'y a pas de stabilité de la réunion de ces droites pour la loi + ce n'est donc pas un espace vectoriel
  • Bonjour à tous,

    Y-a longtemps que je n'ai plus fait de math, mais une autre explication possible pour Zarga.

    En restant sur l'exemple de Bu, es-tu d'accord que la réunion de A et de B te donne finalement un repère classique d'origine O (de coordonnées (0,0) le vecteur nul), dans lequel représenter n'importe quel point du plan de coordonnées (x,y). Pour faire simple, tu peux te restreindre au demi-plan d'abscisse et d'ordonnée positive ou nulle.

    Ensuite, le point qu'il me semble capital de comprendre ici, c'est qu'en supposant que la réunion de ces 2 droites engendrent bien un ev :
    n'importe quel sous-espace vectoriel engendré par ces deux droites DOIT impérativement "contenir" le vecteur nul. (Et c'est aussi vrai en dimension supérieur). Très concrètement, toutes les droites possibles et imaginables incluses dans ton repère doivent passer par l'origine de ton repère.

    Et en prenant un exemple tout simple, tu vois bien que ce n'est pas le cas de la droite d'équation y=1 qui ne "passe" pas par l'origine, ce qui doit répondre à ta question.

    On se sert très souvent du "truc" du vecteur nul contenu ou pas dans les exercices concernant les sous-espaces engendrés de mémoire...

    Explication à valider par les experts du Forum que je salue au passage.

    Bien cordialement,
    Clotho
  • @Clothoide : Bonjour ! :) Comment vas-tu ?

    Ce que j'en pense : Il me semble que $y=1$ est (tout au plus) l'équation d'une droite dans un plan affine et non celle d'une droite vectorielle. Cependant, tu as raison sur un point, l'exemple de Bu est concis et très clair.

    D. H.
  • @D. Hilbert : ben tout va bene, et je te remercie de prendre de mes nouvelles : cela fait toujours plaisir. Sans polluer le fil de Zarga, la vie continue, mais définitivement sans mathématique.

    Et je repasse très rarement sur le Forum. Sauf de temps en temps, comme aujourd'hui, histoire de me "cultiver", et d'entretenir mes connaissances...mais sans pratiquer, c'est dur.

    A+
  • Merci tout le monde, j'ai compris, le truc c'est que j'ai confondu (dans mon imagination) la réunion de ces deux droites vectorielles et l'espace vectoriel qu'elles engendrent, à savoir l'espace $\R^2$ , mais enfin j'ai compris , en prenant l'exemple de
    $x=(2, 0) \in A\in A\cup B$ et $y=(0,1) \in B\in A\cup B$ mais $x+y=(2,1)\notin A\cup B$ , donc $A\cup B$ n'est pas un e.v car tout simplement il n'est pas stable par la loi $+$ (:D
  • @Clothoide :
    la vie continue, mais définitivement sans mathématique

    Pourquoi ? Si tu le veux, tu peux me répondre par message privé. Je serai heureux de te lire.

    D. H.
  • @Zarga : J'en suis heureux et tu peux remercier tout particulièrement Bu qui a fait preuve de clarté (pour une fois ! ;)).

    A +
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