théorème de Pythagore

SixClopes
SixClopes
dans Géométrie
Bonjour,
comment démontrer la réciproque sans utiliser produit scalaire ni Al-kashi ?

Réponses

  • Domi
    Domi
    Bonjour

    Peut-être en disant que deux triangles à côtés égaux sont isométriques .

    Domi
  • ev
    ev
    Bonjour Polypheme.

    Tu peux regarder les deux autres situations : angle aigu ou obtus en poussant ou tirant sur le sommet de l'angle droit.
    De plus ça se voit bien sur geogebra.

    amicalement,

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • SixClopes
    SixClopes
    avec le théorème "l'angle au centre est le double de l'angle inscrit qui intercepte le même arc", on s'en sort plus un autre ingrédient qu'il existe un point A1 sur le cercle de centre B
    et de rayon r=BC d'angle CBA1 droit, ce qui semble utiliser le fait que la médiatrice d'un diamètre coupe le cercle, ce qui semble utiliser la propriété de valeur intermédiaire du corps des réels comme coordonnées (existence de $\frac{\pi}{2}$)

    si les cordonnées sont rationnelles, est-ce que la réciproque du théorème de Pythagore est encore (toujours) vraie ? comment se débrouille Euclide dans ses Eléments de géomètrie ?

    merci
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    SixClopes a écrit:
    comment se débrouille Euclide dans ses Eléments de géomètrie ?

    G ! J’allais le demander.
    En utilisant le théorème direct, si je me souviens bien.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • christophe c
    christophe c
    Si AB² + AC² = BC² alors si tu prends un point X tel que XC² = AX² + AC² = BC² et AXC rectangle en A. Le cercle de centre C et de rayon CX passe par B (et X). Le cercle de centre A et de rayon AX passe par B (et X). La différence entre B et X impose donc une situation très précise (et même symétrique). Ce raisonnement n'est pas une preuve, mais il te permet de déduire ce que tu demandes de choses "visuellement évidentes" pour les petits zenfants qui peuvent (de part leur rigidité) être prises comme axiomes. (En admettant le sens direct!)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Domi
    Domi
    Pour moi la réciproque de Pythagore a toujours été une conséquence immédiate de la propriété directe à condition d'admettre que deux triangles ayant les même côtés sont les "mêmes" .

    Le triangle ABC vérifie la relation de Pythagore avec un angle droit "espéré" en A . On considère DEF rectangle en D avec DE=AB et DF=AC alors EF=AC et ABC est identique à DEF , il est donc rectangle .

    Domi
  • christophe c
    christophe c
    A domi: attention si quelqu un pose ce.genre de question il est envisageable qu il refuse le.recours aux axiomes.theoremes d egalite des triangles. En effet ces derniers entrainent quasiment tous les enonces classiques des clg et lycees en un clin d oeil j avais recense ca autre fois je me rappelle pljs lequel mais un seul semblait resister
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Domi
    Domi
    D'un autre côté , qu'à isométrie près il n'existe qu'un triangle 345 n'est pas trop difficile à admettre . Après il y a les axiomes , mais est-ce vrament la question ?

    Domi
  • Christian Vassard
    Christian Vassard
    Bonjour,
    Une démonstration possible, n'utilisant que des outils de collège qui précèdent le théorème de Pythagore: cela vaut mieux! La figure est la suivante:
    24239
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    À ce propos, le site de Joyce sur les Éléments d’Euclide avec Java est mort ? :-(
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • christophe c
    christophe c
    @christian, lool javais formule expres le truc pour pas donner une redaction complete :D peut etre y atil des fils ou il est d usage de la donner?
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Christian Vassard
    Christian Vassard
    Désolé de l'avoir donnée... mais comme tu disais par ailleurs que ton raisonnement n'était pas une preuve, il me semblait important de donner une démonstration qu'on puisse considérer comme telle.
    C'est celle que je donne à mes stagiaires de capes interne.
    Bien cordialement,
    Christian
  • chephip
    chephip
    Bonjour,
    nicolas.patrois a écrit:
    À ce propos, le site de Joyce sur les Éléments d’Euclide avec Java est mort ?

    J'espère bien que non et qu'il est juste temporairement indisposé.
    Comme le site de S. Plouffe (l'inverseur) qui est "indisposé" depuis plusieurs semaines déja...
  • christophe c
    christophe c
    Ne sois pas desole, je plaisantais :)-D
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Domi
    Domi
    Je dois avouer que je ne vois pas l'intérêt d'une démontration du type de celle de Chistian ( pour les élèves en tout cas ) , si c'est pour faire le malin devant les élèves professeurs :D.

    Depuis la 6ème les élèves savent construire un triangle connaissant ses trois côtés et savent aussi qu'il est unique "à isométrie près" . Alors si un triangle rectangle de côtés perpendiculaires 3 et 4 a une hypoténuse qui fait 5 , les triangles 345 sont rectangles et on n'en parle plus . Après , si on veut vraiment jouer avec l'axiomatique pure et dure on revient aux programmes des années 70 , je préfère des approches qui parlent plus aux élèves .

    Domi
  • christophe c
    christophe c
    @domi : je te vois defendre ta preuve usant des egalites des.triangles. Je n ai absolument rien contre.qu il n y ait pas de.malentendu. Je te.signalais juste que ces axiomes d invariance sont tres.tres.puissants
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Domi
    Domi
    Je ne defendais pas ma preuve , ce n'est rien d'autre que le moyen le plus simple que j'ai trouvé pour faire passer le message à mes élèves , le reste ...

    Domi
  • Christian Vassard
    Christian Vassard
    Bonjour Domi

    Je ne fais pas le malin devant des élèves professeurs (qui au demeurant quand ils préparent le capes interne enseignent déjà bien souvent depuis de longues années...), je réponds simplement à des questions (et sache en passant que c'est bien loin d'être la seule...).
    Quand on demande comment on peut démontrer la réciproque du théorème de Pythagore, il faut bien donner une réponse, précise et qui se tienne. C'est le cas de la réponse que j'ai proposée, qui ne s'appuie que sur des éléments antérieurs dans les programmes au théorème de Pythagore.
    Sans sombrer dans un formalisme excessif, c'est quand même rassurant non?

    A aucun moment bien sûr, je n'ai affirmé qu'il fallait le dire tel quel à des élèves, élèves que je connais car j'enseigne aussi sur le terrain. Sans aucun doute, la justification que tu donnes est alors préférable.

    Je remets donc ma réponse dans ce contexte et je te remercie de ne pas me faire dire plus que ce que j'ai affirmé initialement.

    Bien cordialement,

    Christian
  • pldx1
    pldx1
    .
  • christophe c
    christophe c
    mode troll on

    @pldx, non tu vas chercher beaucoup trop loin. Domi (et Christian) déduisent la réciproque du Th de Pythagore+ quelques axiomes (qu'ils admettent sans aucune autre forme de justification***). Toi tu proposes une preuve** du sens direct de Pythagore et il y a une étape trop gratuite
    puis $AB^2+AC^2=BC\cdot (BH+HC)$

    *** presque à juste titre dans la mesure où je crois que le théorème de Pythagore doit battre des records de nombres de preuves diverses publiées un peu partout

    ** Quitte à invoquer des axiomes qu'on admet, autant aller jusqu'au bout de cette philosophie ***** d'ailleurs et admettre que dans un ensemble de triangles rectangle tous semblables entre eux, l'aire est proportionnelle au carré de l'hypoténuse de sorte que Pythagore tombe directement (plutôt que se sentir obligé d'utiliser base fois hauteur)

    ***** esthétiquement, je pense qu'admettre des axiomes affirmant des conditions suffisantes de similitude oblige un peu à admettre carrément tout d'un coup en mode "pack": les distances grandissent proportionnellement au facteur d'agrandissement, les aires proportionnellement au carré de ce facteur, les volumes, etc, etc

    mode troll off
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Christian Vassard
    Christian Vassard
    Non Christophe, je ne m'appuie sur aucun axiome mais sur des théorèmes démontrés - disons démontrables pour être plus précis - dans les classes précédentes (propriété caractéristique de la médiatrice, théorème sur les perpendiculaires entre autres). C'est bien l'intérêt de cette démonstration, d'un point de vue formel s'entend, pas pédagogique évidemment.

    La démonstration directe, elle aussi, pose problème. Une de celles que je propose (... car on me pose aussi la question, comme on me la pose pour Thalès, sa réciproque, etc...) est basée sur les aires, comme celle d'Euclide. Pour le coup, on s'appuie là sur des "axiomes" naturels concernant les aires, qu'on est obligé d'admettre. Interviennent aussi des triangles isométriques ou une rotation si on préfère, donc le niveau n'est plus la classe de quatrième. Mais cette démonstration, culturellement, est très intéressante et très riche.

    Les démonstration du théorème de Pythagore, comme le signale pldx, ne manquent pas. Une de celles qui fonctionne bien, éventuellement aussi avec de "vrais" élèves, est basée sur quatre triangles rectangles isométriques qu'on dispose différemment à l'intérieur d'un carré, soit aux quatre coins, soit regroupés deux par deux. Je pense que tout le monde aura compris de quoi il s'agissait.

    Bien cordialement,

    Christian

    PS: la démonstration de pldx, Pierre donc, est celle qu'on me présentait quand j'étais élève. Je la trouve jolie, simple et elle montre toute la puissance des triangles semblables dans la géométrie. Je la signale aussi à mes stagiaires.
  • Domi
    Domi
    Pour le théorème direct aussi j'utilise aussi les quatre triangles rectangles dans le carré .

    On peut d'ailleurs présenter la propriété de façon très ludique en demandant aux élèves de disposer eux mêmes quatre triangles rectangles identiques de côtés abc dans un carré de côté a+b pour que la partie non recouverte soit un carré ou deux carrés et de comparer ensuite les aires .

    Pour ce qui est des démonstrations des propriétés au collège , j'ai fait une croix dessus depuis très longtemps . J'ai choisi quelques propriétés "cibles" comme Pythagore , Thalès , trigo, et des formules type "identités remarquables" et pour le reste , on fait ressentir le résultat et on l'admet .Je ne suis même pas sûr que les programmes soient conçus de façon à ce que les propriétés énoncées soient démontrables facilement au niveau où elles sont exposées .

    Je pense aussi qu'il faut énormément se méfier des justifications très abstraites par les transformations ou les objets complexes type médiatrices qui ne parlent qu'aux matheux purs et durs . Le Thalès du collège n'est rien autre que deux triangles de même forme donc aux côtés proportionnels tout autre artifice ne fait que brouiller le message .

    @Christian : il n'y avait pas d'agressivité dans mon intervention , je ne voyais simplement pas l'intérêt de la démo :D

    Domi
  • christophe c
    christophe c
    @chrsitian a oui pardon tu neme lis peut etre pasassez souvent :D

    j appelle "axiome " (d une preuve) tout ce qui y est affirmee explicitement ou tacitement
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Christian Vassard
    Christian Vassard
    oups, d'accord, Christophe, je comprends mieux!
    Il m'arrive cependant assez souvent de te lire... :)-D
    Christian
  • jydu56
    jydu56
    Je n'avais pas percuté la condition : sans produit scalaire !
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Français