Séries entières

Bonjour.

Soit somme des anzn une série entière de rayon de convergence R >0 et fini.

L'énoncé "il existe z de module R tel que la série de terme général anz^n diverge" est-il vrai ? et pourquoi ?

merci

Réponses

  • Bonjour,

    Que dire de $a_n = \frac{1}{n^2}$ ?
  • a priori je dirais non, si |z|=R alors on est dans une indétermination. parfois ça peut diverger pour certaine valeur de z, parfois tjs parfois ça converge tt le temps. tout dépend de la série je pense.
  • au dela de la simple convergence de la série réglée par l'exemple de BlackBird, le véritable enjeu est le prolongement analytique de la fonction définie à l'intérieur du disque de convergence par la série entière
    A demon  wind propelled me east of the sun
  • Autrement dit il existe au point un point $a$ du cercle de convergence en lequel la somme de la série (considérée dans le disque de convergence) ne peut pas se prolonger analytiquement. En effet si ce n'était pas le cas, on montre aisément que cette somme se prolongerait à un disque de rayon $>R$ ; et comme toute fonction analytique dans un disque ouvert de centre $0$ y est développable en série entière, on a une contradiction.
  • Bonjour,

    Relativement aisément, puisque j'ai compris la preuve !

    ...preuve qui utlise le fait que le cercle de convergence est compact, donc on peut en trouver un recouvrement fini par des disques ouverts (en faisant un dessin on voit qu'on peut trouver un disque de convergence de rayon > R en grapillant dans l'ensemble des "petits" disques du recouvrement).
  • Titchmarsh : {\it Theory of Functions } chez Oxford (1932) donne le théorème suivant: si le rayon de convergence de la série entière $\sum a_nz^n$ est 1 et si $a_n \geq 0$, alors $z=1 $ est un point singulier de la fonction $f(z) = \sum_{n=1}^{+\infty} a_nz^n$.
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  • Comme mentionné par BlackBird, la série entière construite sur la suite $a_n = \frac{1}{n^2}$ converge absolument pour tout nombre complexe de module 1 mais son rayon de convergence est 1.

    En espérant ne pas avoir écrit (trop) d'énormités.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Il faut utiliser aussi le {\bf principe du prolongement analytique} (pour prolonger la somme de la série en une fonction analytique sur un disque de rayon $>R$).
  • Archimède:

    L'exemple donné par BlackBird (repris aussi par Wikipedia: http://fr.wikipedia.org/wiki/Série_entière#Rayon_de_convergence) semble indiquer que la démonstration que tu suggères ne peut être que fausse.

    Puisqu'il s'agit d'une série entière qui a pour rayon de convergence 1 et cette série est absolument convergente pour tout nombre complexe de module 1.

    En espérant ne pas avoir écrit (trop) d'énormités.
  • FDP: archimède a dit: si le rayon est R, il y a un pont du cercle de rayon R où $f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n $ n'est pas analytique. Sa preuve est une simple contraposée.
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  • de plus, cet exemple relève des séries entières à coefficients positifs...donc z = 1 est un point où f (la fonction dilogarithme...) n'est pas analytique.

    http://mathworld.wolfram.com/Dilogarithm.html
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  • Je pense que je n'ai pas compris ce que veut dire Archimède.

    Ce que j'ai compris:

    Si une série entière converge pour tout nombre complexe de module inférieur à R>0 et si sur tout point du cercle de rayon R la série entière converge (absolument) alors le rayon de convergence de cette série est strictement supérieur à R.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • ceci est faux avec le contre exemple que tu as considéré toi-même. Sur le cercle de convergence, on ne regarde pas la convergence de la série définissant la fonction mais la capacité de la fonction à être analytique, Par exemple si $ f(z) = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} z^n = \dfrac{1}{1-z}$ , la série n'est pas convergente en $z=-1$ mais $f$ y est analytique.
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