équations premier/second degré, question

dans Arithmétique
Bonjour tout le monde.
Je suis en quatrième et nous étudions les équations du premier degré. Je me posais une question que je vais illustrer par un exemple :
4x + 3 = 12
4x = 9
x = 2.25
Je vois que l'égalité est toujours là, mais je ne comprends pas pourquoi la valeur de x ne change pas pendant la résolution de l'équation !
Quelqu'un pourrait-il m'aider et m'expliquer de façon claire (je suis en 4ème) pourquoi la valeur de x ne change pas ?
Je vous remercie d'avance.:S
Je suis en quatrième et nous étudions les équations du premier degré. Je me posais une question que je vais illustrer par un exemple :
4x + 3 = 12
4x = 9
x = 2.25
Je vois que l'égalité est toujours là, mais je ne comprends pas pourquoi la valeur de x ne change pas pendant la résolution de l'équation !
Quelqu'un pourrait-il m'aider et m'expliquer de façon claire (je suis en 4ème) pourquoi la valeur de x ne change pas ?
Je vous remercie d'avance.:S
Réponses
-
Je ne suis pas sûr de comprendre la question, mais j'essaye d'y répondre néanmoins.
Le raisonnement est le suivant.
1) On remarque que si un nombre x vérifie l'équation 4x+3=12 alors ce nombre x vérifie aussi l'équation 4x=9. Je redis la même chose avec d'autres mots. Si un nombre, que l'on note x parce qu'on a besoin de lui donner un nom, est tel que l'égalité 4x+3=12 est vrai, alors ce même nombre, que l'on note toujours x, est également tel que l'égalité 4x=9 est vrai.
2) On remarque que si un nombre x vérifie l'équation 4x=9 alors ce nombre x vérifie aussi l'équation 4x+3=12.
De 1) et 2), on déduit :
A) Les nombres x qui vérifient l'équation 4x+3=12 sont exactement les nombres x qui vérifient l'équation 4x=9. (J'écris les nombres car je fais semblant de ne pas savoir qu'il n'y en a qu'un seul.)
En raisonnant similairement, on obtient :Les nombres x qui vérifient l'équation 4x=9 sont exactement les nombres x qui vérifient l'équation x=2.25.
Mais maintenant on sait :
C) Il n'y a qu'un nombre x qui vérifie l'équation x=2.25 et c'est, tout bêtement, 2.25.
En combinant A, B et C on obtient qu'il n'y a qu'un nombre x qui vérifie l'équation 4x+3=12 et que c'est le nombre 2.25.
----
Un truc à comprendre c'est que cette lettre x c'est juste une lettre qu'on introduit pour raccourcir les phrases.Sinon ce serait un peu long, on devrait écrire des choses comme ça :
Je cherche le ou les nombres tels que 4 fois ce nombre plus 3 égale 12. Je remarque que c'est aussi le ou les nombres tels que 4 fois ce nombre égale 9 etc.
Mais, ce dernier paragraphe correspond vraiment à ce que l'on fait, le x et les écritures 4x+3=12 sont justes introduites pour raccourcir les phrases et faciliter les calculs. -
Elève de 4eme:
Il y a seulement deux règles pour transformer une équation sans changer l'ensemble de ses solutions:
1) On a le droit d'ajouter des deux côtés du signe égal une même quantité (qui peut s'écrire avec des "x")
2) On a le droit de multiplier ou diviser par une même quantité (attention à ne pas diviser par 0). -
Il y a seulement deux règles au niveau de quatrième, après, il y en a plus.The real danger is not that computers will begin to think like men, but that men will begin to think like computers.
-- Harris, Sidney J. -
Hello,
On utilise des lettres pour représenter des grandeurs dont on ne connait
pas la valeur. Mais une fois qu'on a choisi une lettre pour représenter tel ou tel nombre, sa valeur
est supposée rester toujours la même au long des calculs. Imagine que tu notes $c$
la longueur du côté d'un carré. Son aire (que je note par exemple $A$), vaut $c \times c$.
Son périmètre $P$ vaut $4\times c$. Donc si j'écris les égalités:
\begin{align*}
A &= c\times c \\
P &= 4\times c
\end{align*}
Il n'y a aucun lien entre ces 2 égalités, c'est donc encore pire que dans ton cas où chaque ligne
résulte de la transformation de la ligne précédente.
Mais pourtant tu peux dire avec certitude que c'est bien le même $c$ dans chacune des 2 lignes,
parce que c'est toi qui a décidé à un moment de dire que tel nombre sera représenté
par une lettre de ton choix, et une fois que ce choix est décidé il n'a plus de raison
de changer, la lettre représentera toujours le même nombre.
Là où il ne faudra ne pas faire de confusion, quand tu étudieras ça plus tard,
c'est qu'une équation peut avoir plusieurs solutions.
Exemple: "résoudre l'équation $(x-1)\times (x-2)=0$" signifie :
Quels sont les nombres $x$ tels que $(x-1)\times (x-2)=0$ ?
Il y a 2 solutions possibles $x=1$ et $x=2$. Cela veut dire qu'on peut choisir l'une de ces deux
valeurs pour que $(x-1)\times (x-2)=0$. Mais, tout au long de tes calculs pour obtenir ces
solutions, $x$ vaudra toujours la même valeur, que tu ne connais pas encore, et ce
n'est qu'à la fin que tu découvriras que plusieurs valeurs de $x$ "marchent" : ce sont
les solutions de l'équation.
Eric -
re bonjour
Ma question était en effet mal formulée ! (td)
quand j'ai
4x+3=12
L'égalité est vraie en fonction de x. Soit, que quand x=2.5. Mais quand je résous je pars bien du fait que ces deux membres sont égaux oui ou non ?
Merci d'avance et je vous demande de me répondre de façon simple si cela vous est possible. -
Bonsoir Elève.
Une équation est un problème.
Résoudre l'équation $4x+3=12 $ c'est trouver tous les nombres vérifiant cette égalité.
Mais résoudre ce problème revient à résoudre le problème équivalent : Résoudre l'équation $4x=9 $.
Autrement dit, tous les nombres qui vérifient la premiere égalité vérifient la seconde et inversement.
Pour répondre à ta question, dans la pratique tu considères effectivement des nombres $x$ qui vérifient cette égalité - à supposer qu'il en existe - et tu travailles avec cette égalité.
Cela évite d'écrire des phrases - ici des égalités - qui sont fausses. Ecrire des phrases fausses est quelque chose qui ne se fait pas en mathématiques.
J'espère avoir répondu à ta question.
amicalement,
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Donc en gros si j'ai bien compris,
on considère qu'il y a égalité et on travaille autours de cette égalité pour trouver la valeur de cette égalité.
est ce cela?????
merci d'avance -
ouaips c'est comme si tu as une balance avec plateaux, équilibrée au départ. D'un côté, tu as 4 poids de valeur x et trois poids de valeur 1, de l'autre côté tu as 12 poids de valeurs 1.
L'idée est de toujours laisser la balance en équilibre.
La première étape est d'enlever 3 poids de valeur 1 de chaque côté. Tu obtiens 4x+3-3=12-3, c'est la deuxième ligne de ton calcul. Ensuite puisque 4 poids de x font 9, alors le poids de x est 2.25. -
D'acc merci:)-D
-
et comment tu ferrais pour résoudre l'équation :
$$ {1 \over x }+2 =1 $$ -
Elève a écrit:on considère qu'il y a égalité et on travaille autour(s) de cette égalité pour trouver la valeur de cette égalité.
est ce cela?????
Oui, en très gros. Une égalité n'a pas de valeur. Ce que tu cherches comme valeur, c'est celle de $x$ qui fera que ton égalité sera vérifiée.
Mais pour le reste c'est ça.
amicalement,
e.v.
[Pas de s à autour, sauf si tu élèves des rapaces]Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Quand on essaie de résoudre l'équation x+1=x, puisqu'elle n'a pas de solution, l'égalité initiale est fausse B-)-
Une égalité n'a pas de valeur (au sens où tu l'entends), c'est l'inconnue qu'on cherche à connaître qui en a ou pas (une équation peut avoir éventuellement plusieurs solutions ou aucune).
L'équation x+1=x n'a aucune solution.
l'équation 2(x+1)=2x+2 a pour solution l'ensemble des nombres réels.Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir. -
Bonne remarque Fin de Partie. Comme quoi extraire une citation de son contexte peut transformer une phrase vraie en une phrase fausse.
Et c'est vieux comme le monde.
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
ev a écrit:Une équation est un problème.
J’aime bien dire que c’est une question. Existe-t-il des x tels que ? Si oui, lesquels ? Cela dit, on ne sait pas si une égalité toute nue est une identité, une équation ou autre chose.Une égalité n'a pas de valeur.
Ça dépend : elle peut être vraie ou fausse selon les valeurs de x. Si elle est vraie tout le temps, c’est une identité.
En programmation, elle peut avoir la valeur du terme de droite quand c’est une affectation ou une valeur de vérité quand c’est un test.The real danger is not that computers will begin to think like men, but that men will begin to think like computers.
-- Harris, Sidney J. -
Bonjour ,
lorsqu'on veut résoudre une équation du premier degré , on suppose qu'il y a une solution et on note cette solution x (d'ailleurs il serait préférable de la singulariser) . On utilise alors les propriétés sur les égalités pour obtenir une égalité du type x= ..... .
Dans ton cas : supposons que x soit la solution de l'équation 4x+3=12 (l'égalité est alors vraie) alors en enlevant 3 de chaque côté (ce qui ne perturbe pas l'égalité )on obtient 4x+3 - 3=12 - 3 c'est à dire 4x=9 . En divisant par 4 , on obtient 4x/4=9/4 , c'est à dire x=9/4 .Il faut faire attention , ici à faire la vérification que 9/4 est bien solution car ce que j'ai fait c'est : si x est solution de 4x+3=12 alors x=9/4 . Autrement dit le candidat potentiel pour être solution de cette équation est 9/4 . (on procède par implication) . La vérification permet de dire que 9/4 est solution de cette équation car 4x9/4+3=12 .
Cordialement . -
(on procède par implication) a écrit:
Cela n'a aucun sens pour un élève de 4ème, sauf erreur de ma part.Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir. -
Bon, et $x+2x=3x$, c'est une égalité ou une équation ?
-
En fait, comme M. Jourdain, on fait des équations sans le savoir depuis le CP, sous forme d'additions à trous.
Au CP, on demande de résoudre
23 + ... = 57
Au collège on demande de résoudre
23 + x = 57. -
citation:
Bon, et $ x+2x=3x$, c'est une égalité ou une équation ?
x n'étant pas précisé, à priori, c'est une équation.Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir. -
Bonsoir ,
@fin de partie : effectivement , d'ailleurs c'est entre parenthèses .
@philippe Malot : les deux car une équation est une égalité . Mais ici , on peut parler d'identité .
@jlt : je suis d'accord . D'ailleurs pour montrer l'intérêt de la résolution algébrique , il ne faut pas se contenter de ce type d'équation .
Il faut que les élèves rencontrent des problèmes menant à des équations du type ax+b=cx+d .
Cordialement
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