Question sur un exercice d'algèbre.
Bonjour,
Je bute sur une partie de l'exercice suivant (posé par Josette Calais dans son livre Extensions de corps, théorie de Galois, page 9, exercice 7).
K étant un corps, on considère le groupe multiplicatif K* et quel que soit n naturel positif l'application :
fn de K* dans K* qui à x associe xn.
La proposition à justifier est la suivante : fn est un automorphisme du groupe K* ssi K*=K*n
Cela ne pose pas de problème pour justifier, sauf l'injectivité de fn pour moi. C'est sans doute élémentaire, mais ça m'échappe, si quelqu'un peut aider...
Je bute sur une partie de l'exercice suivant (posé par Josette Calais dans son livre Extensions de corps, théorie de Galois, page 9, exercice 7).
K étant un corps, on considère le groupe multiplicatif K* et quel que soit n naturel positif l'application :
fn de K* dans K* qui à x associe xn.
La proposition à justifier est la suivante : fn est un automorphisme du groupe K* ssi K*=K*n
Cela ne pose pas de problème pour justifier, sauf l'injectivité de fn pour moi. C'est sans doute élémentaire, mais ça m'échappe, si quelqu'un peut aider...

Réponses
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A mon avis ton corps est fini, sinon le résultat est faux avec $K=\mathbb{C}$.
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C'est bien ce que je pensais aussi, mais comme ce n'était pas précisé, je me cassais la tête là-dessus... Merci pour la promptitude de la réaction !
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Et j'imagine que n n'est pas quelconque mais doit être une puissance d'un nombre premier p et ce dernier étant la caractéristique du corps?
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Non, non, rien n'est dit sur $\it n$ dans un premier temps et ce qui m'avait interpelé et induit en erreur était que le deuxième point de la question demandait pour quelles valeurs de $\it n$ on avait un automorphisme si $K=R$. Mais je pense que vous avez répondu à ma question... Merci encore
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Bonjour!
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