prolongement de zeta

J'avais d'ailleurs essayé de retrouver cette formule directement à partir de la formule d'Euler Mac-Laurin (qui te donne un prolongement), en vain!

@éric: quel est le rayon de convergence de la série $\phi(t)$, est-ce $2\pi$ ?

@Miskha: merci.réponse ici
le prolongement analytique, c'est comme le monstre du Loch Ness, tout le monde en parle et personne ne l'a jamais vû

Bonsoir Eric,
mais si tu remarques l'expression de $\phi$ , sauf erreur de ma part , diverge en zéro ( le premier terme tend vers 1 , c'est l'inverse du taux d'accroissement en zéro de l'exponentielle, il converge donc vers la dérivée en zéro qui est 1 . et le second terme diverge ) , alors que la série entière converge évidemment en zéro.

Je pense , encore une fois sauf erreur , que tu comptais diviser le tout par $t$ , mais tu as fait une faute de frappe et tu as divisé juste le second terme , ce qui devrait donner donc l'expression que j'ai écrite sur mon dernier poste , qui est bien égale à la série (et converge en zéro, entre autres)

Cordialement

ah oui c'est vrai , je suis à coté de la plaque . désolé , je suis toujours aussi tête en l'air le weekend .
merci pour ta correction

bonsoir

le prolongement analytique de la fonction Zéta se fait suivant deux méthodes:

première méthode: on utilise le lien entre Zéta(x) = 1 + 1/2^x + 1/3^x +.........+ 1/n^x +.........(définie pour x > 1)

et la fonction Zéta alternée: Za(x) = 1 - 1/2^x + 1/3^x - 1/4^x +...........+ (-1)^(n-1)/n^x + ........(définie quelle que soit x réelle)

ce lien valable pour la variable x réelle différente de 1 s'écrit: Z(x) = Za(x)/[1 - 2^(1-x)]

et cette relation permet un prolongement de Zéta(x) aux valeurs de x inférieures strictement à 1

en particulier pour x = 0, Za(0) = 1/2 et donc Z(0) = - 1/2

pour x = -2n alors Za(-2n) = 0 et donc Z(-2n) = 0

si x = 1 - 2n alors Za(1-2n) est le nombre de Bernoulli de rang n
(même si Jean Bernoulli n'avait précisément défini "ses" nombres ainsi)
et donc Z(1-2n) = Za(1-2n)/[1 - 2^(2n)]

seconde méthode de prolongation analytique de Zéta: la relation démontrée par Riemann à partir de "sa" fonction Théta

Z(1-x) = 2.Gamma(x) .cos(pi.x/2).Z(x)/(2pi)^x

cette relation à partir de Zéta de variable x > 1 permet de la prolonger aux valeurs de x inférieures à 1 strictement

le résultat de Zéta prolongée aux valeurs de x inférieures strictement à 1 par les deux méthodes est bien-sûr identique

cordialement

@GrosNaif : si pour toi Zeta ne "sert" comme tu le dis qu'à poser des problèmes de concours, c'est qu'à mon humble avis tu n'es pas fait pour les maths.

@GrosNaif, Zeta intervient dans certains calculs d'intégrales, et en théorie des nombres (son comportement
donne des informations sur les nombres premiers).
Zeta est aussi plus connue pour être l'élément central d'une conjecture mathématique, la
conjecture de Riemann, dont on n'a toujours pas la preuve depuis 1859 si elle est vraie
ou fausse. Cette conjecture s'énonce de la façon suivante: "Si Zeta s'annule en un point du plan
complexe de partie réelle positive, alors la partie réelle de ce point vaut exactement 1/2".
A ce jour des moyens informatiques importants ont tenté de trouver des contre-exemples à cette
"règle" sans jamais en trouver....

Si cette conjecture est vraie cela confirmerait une formule approchée de la répartition des nombres
premiers lorsque ceux ci sont grands. Il existe déjà de telle formules, mais le fait que la conjecture
de Riemann soit vraie permettrait de donner une approximation plus précise.

Eric

bonjour,

il est possible que la conjecture de Riemann comporte deux aspects:
- un aspect statistique global concernant la répartition des entiers premiers parmi les naturels: quand les zéros dits critiques de cette fonction méromorphe auront été situés sur la droite d'équation $\Re(z)=\frac{1}{2}$, la majoration de $|Li(x)-\pi(x)|$
Li(x)= logarithme intégral , pi(x) nombre d'entiers premiers ne dépassant pas $x$ sera optimale
- un aspect qualitatif concernant la position de chaque nombre premier particulier (?)
(je crois qu'il ya une formule de Riemann ou d'Hadamard)

il y a actuellement plusieurs domaines de recherche concernant HR:
- la recherche "classique" de critères équivalents (par exemple , critère de positivité de Li)
- l'analyse p-adique semble très adapté puisque sa métrique repose sur les nombres premiers (valuations p-adiques) contrairement à la métrique euclidienne
c'est la géométrie non commutative.
a) les opérateurs linéaires: on doit établir qu'une fonction constante 1 est limite de fonctions intégrables $L^2$ (sauf erreur)
b) la géométrie hyperbolique: il y a une formule de traces de Selberg qui concerne des géodésiques. Les géodésiques sont des courbes situées donc sur une surface,
qui minimisent la distance d'un point à un autre
Cette surface est elle "abstraite", contruite comme un "modèle" pour les besoins de la description ou concrête ? sans doute , peu importe.
c) la physique quantique
il semble que l'on puisse adapter la théorie du Hamiltonien , de l'opérateur bra-ket et de Von Neumann à l'arithmétique.
d) A.Bechata a donné une heuristique simple de l'équation fonctionnelle qui frappe les esprits: c'est issu directement de la formule de Poisson
d) la physique statistique
il y a une théorie de matrices aléatoires qui donnerait une distribution statistique
des zéros critiques
e) enfin, il doit y avoir des recherches en topologie algébrique
c'est l'oeuvre des élèves de A.Grothendieck qui consisterait à associer , à chaque groupe de Galois d'une équation des morphismes appelés revêtements
et une théorie d'homotopie de lacets et d'actions de groupes d'automorphismes dans les fibres (fibres=antécédents et images réciproques par les applications)

intuitivement, si on sait permuter des zéros d'une équation, on peut espérer savoir où ils se situent B-)-

concernant le point (e), les professionnels sauront te renseigner bien mieux que je ne peux le faire

donc les recherches sont protéiformes....

merci Jean pour ces précisions.

@Mishka,
Malheureusement tout ce qui a trait à l'hypothèse du continu est en dehors de mes compétences...
A plus forte raison ses liens éventuels avec les nombres premiers, la théorie des nombres n'étant
pas non plus ma tasse de thé en fait..

a+

Eric

Sylvain écrivait:

---

> @GrosNaif : si pour toi Zeta ne "sert" comme tu le
> dis qu'à poser des problèmes de concours, c'est
> qu'à mon humble avis tu n'es pas fait pour les
> maths.

Tu confonds culture et compétence. Ca n'arrange pas beaucoup ton personnage.

OK, j'avais mal compris ton intervention, désolé.

Je ne suis par contre toujours pas d'accord avec toi (mais ça devient une simple affaire de goût). Il me semble que s'interroger sur la pertinence de l'étude d'un objet est important pour un mathématicien. Tout dépend peut-être du sens que l'on donne à "servir".

@breukin: je pense pas, la formule a été validée par Eric.

Je confirme que c'est ma formule qui est bonne, elle est élémentaire à démontrer, par inversion de l'intégrale (fonction Gamma) et du signe somme (fonction zeta), pour Re(s)>1.
Je suis surpris qu'elle ne soit pas connue.

$ \displaystyle \Gamma(s) \zeta(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s-1} dt \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \int_0^\infty e^{-t} \sum_{n=1}^\infty \frac{t^{s-1}}{n^{s-1}} \frac{dt}{n} = \int_0^\infty \sum_{n=1}^\infty e^{-nu} u^{s-1} du = \int_0^\infty \frac{u^{s-1}}{e^u-1} du $

@breukin : explication de ce mystère: ta formule est vérifiée pour $\Re(s)>1$

dans ce doc
zeta

elle est démontrée par Mr Colmez au lemme 1.1, puis prolongée pour $1>\Re(s)>0$
en la formule d'Eric (prop 1.1)

cdlt,

d'après wiki
zéta calorifique

on peut rapprocher cette écriture de "zéta spectrale" , transformée de Mellin
du noyau de la chaleur

zéta spectrale (on devrait dire zéta calorifique) s'écrit

$$\zeta(s)=\frac{1}{\Gamma(s)} \int_{0}^{\infty} \, t^s \, Tr \, e^{-t \hat{H}} \, \frac{dt}{t}$$

D'après ce qui a été écrit dans le fil, la donnée du spectre de zéta calorifique n'indique pas les zéros mais comme de toutes façons, on cherche les zéros non triviaux comme parties imaginaires des valeurs propres (spectre=ensemble des valeurs propres d'un opérateur $\mathbb{R}$-linéaire ??,$\mathbb{C}$-linéaire serait trop demander)

là, il y a de quoi s'occuper tout l'été, faire le rapprochement entre mon exponentielle formelle et zéta calorifique dont l'expression comporte l'exponentielle d'une trace de l'opérateur $\hat{H}$