groupe

bonjour,

je m'intéresse au groupe de Galois d'une équation
quelqu'un pourrait m'expliquer simplement l'heuristique de ce que l'on nomme
"extension galoisienne" , "revêtement galoisien", "correspondance de Galois",
"groupe de monodromie"

ou m'indiquer un doc de vulgarisation.

sur Galois, j'ai le niveau d'un élève de TS (le 18/5/2012) , le groupe de Galois, c'est le groupe de permutations des racines de l'équation :)o

merci d'avance,

très cordialement,

Réponses

  • Je tente de donner quelques faits en vrac (c'est donc incomplet), mais sans être sûr de ton niveau sur le sujet :
    - Effectivement, le groupe de Galois d'un polynôme (c'est-à-dire de son corps de décomposition) permute ses racines.
    - La correspondance de Galois, pour les extensions de corps, permet de déterminer par exemple les extensions intermédiaires d'une extension de corps $\mathbb L/\mathbb K$ : elles sont en correspondance bijective avec les sous-groupes du groupe de Galois : à un sous-groupe $H$, on associe son corps fixe, càd l'ensemble des éléments de l'extension fixés par les éléments de $H$, et à une sous-extension $\mathbb M$, on associe son groupe de Galois $Gal(\mathbb L/\mathbb M)$.
    - Le groupe de monodromie d'un revêtement, c'est son groupe d'automorphismes. Il est lié à l'action de monodromie : le groupe fondamental ($\pi_1$) de la base agit à droite sur la fibre/préimage d'un point par relèvement des lacets.
    - Cette correspondance existe aussi pour les revêtements, vus comme quotient du revêtement universel**.
    - Attention, les revêtements et les extensions de corps sont deux théories différentes à l'origine, ce n'est qu'après que l'on se rend compte qu'elles sont liées et qu'il apparaît dans les deux cas une correspondance de Galois.

    ** c'est un revêtement "au-dessus de tous les autres" : pour le construire (ce qui est difficile), on "déroule les chemins". Par exemple, à partir du cercle $\mathcal S^1$, on obtient $\R$ en "déroulant le cercle une infinité de fois". Son groupe d'automorphismes est le $\pi_1$ de la base. Au fond, c'est une idée semblable (si je ne m'abuse) à la construction d'une clôture algébrique ; dans les deux cas, on essaie de "séparer des choses" qui sont "intriquées" à la base (on veut séparer les chemins non-homotopes dans le cas des revêtements, et les racines d'un polynôme irréductible dans le cas des extensions de corps).

    Pour une vulgarisation, pourquoi pas http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorie_de_Galois.


  • Un élève de TS n'est même plus censé connaître le lien entre le produit des racines, la somme des racines et les coefficients d'une équation d'une équation du second degré, alors autant dire que tu ne sais rien du tout ou presque. B-)-
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • @phi:
    merci pour ta réponse.

    i) si la base $B$ , ensembliste, peut être munie de diverses métriques non équivalentes,
    est ce que ça change son revêtement universel (il me semble que c'est une notion topologique, le revêtement)
    ii) comment fait on le lien entre un groupe de transformations qui agit sur les lacets
    du revetement
    (si j'ai bien compris, le domaine de définition de l'équation admet des revêtements dont un, universel, chapeaute tous les autres)
    et les extensions de corps de l'équation ?
    d'après wiki, on doit quotienter des surfaces jusqu'à obtenir univocité
    de la fonction. pourquoi ces fonctions sont multivoques ?

    tu peux me faire un exemple sur
    $z^{12}+z+1=0$ que je voie mieux ?

    ça ferait comme une "géographie" sur une variété (variété= surface en dimension $n$)
    associée à chaque équation complexe et plus généralement sur un corps algébriquement clos ?
  • Je ne m'y connais pas en surfaces de Riemann donc relier revêtements et équations polynomiales est hors de ma portée.
    i) Non, les revêtements sont effectivement des notions purement topologiques.
    ii) Attention, ce sont les lacets (ou plutôt leurs classes d'homotopies, càd les éléments du $\pi_1$) qui agissent sur les points de la fibre. Plus précisément, si $p:E\to B$ est un revêtement connexe, $b\in B$ et $[c]\in\pi_1(B)$, alors l'action est donnée par $\forall x\in p^{-1}(b),\,x.[c] = \gamma(1)$ où $\gamma$ est l'unique relèvement du lacet $c$.
    d'après wiki, on doit quotienter des surfaces jusqu'à obtenir univocité de la fonction. pourquoi ces fonctions sont multivoques ?

    Ta question n'est pas très claire (en particulier, de quelles fonctions s'agit-il ?). Ce qui est sûr, c'est que :
    - tous les revêtements s'obtiennent par quotientage du revêtement universel ;
    - le logarithme complexe est par exemple une fonction multivoque sur $\C^*$ mais si on le définit sur sa surface de Riemann, il devient univoque (mais je n'en sais pas plus).
  • merci.
    dans ta réponse, $\pi_1(B)$ signifie $\pi_1(B,b)$.,ie, qu'en bas, les lacets sont à point de base $b$ ?
  • Oui, mais on ne fait plus trop attention à ce point base en général, car si $B$ est connexe par arcs, alors $\forall b,b'\in B,\,\pi_1(B,b)\simeq\pi_1(B,b')$.
  • merci.

    i) ce qu'ils appelent Aut(E), c'est simplement des bijections de l'ensemble E,
    s'il n'y a aucune structure particulière
    ii) ici , les morphismes de revêtement, c'est quoi exactement , si p est surjective, continue
    ce sont des homéomorphismes entre fibres ?
    ou alors ça fait commuter des diagrammes ?

    ii) je comprend pas pourquoi deux lacets homotopes $c_1$ , $_c_2$
    de $B$ se remontent en deux chemins homotopes $\gamma_1$ , $\gamma_2$ et pourquoi dès lors, $\gamma_1(1)=\gamma_2(1)$.

    sinon, je pense avoir compris le principe , les automorphismes du revetement $p$ , tout au moins quand le revetement a de bonnes propriétés (universel) , correspondent aux sous-groupes du $\pi_1(B,b)$.

    ici

    iv) comment tu vois , dans le cas de suites d'applications surjectives
    où est le revetement universel de $B$ ? parce évidemment en rajoutant
    des dimensions, on peut empiler autant qu'on veut au dessus de $B$ ?

    en espérant ne pas avoir écrit trop de bêtises...
  • @phi27: c'est A.Grothendieck, me semble-t-il, qui a unifié la théorie des revêtements (géométrie) et les extensions de corps (algèbre)

    olivier Bertrand.
  • re,

    j'ai trouvé un doc du cnrs qui fait le lien entre la géométrie des revêtements
    et la théorie de Galois

    Galois
  • Bonjour,
    i) Aut(E) est le groupe des automorphismes du revêtement $p:E\to B$, cf.ii)
    ii) C'est écrit sur la page de Wikipedia que tu cites ! C'est une application continue qui fait commuter un diagramme.
    iii) Il faut faire la démonstration pour le voir. Une façon de procéder est d'utiliser le revêtement image réciproque (ou produit fibré) : les relèvements correspondent au section du revetement image réciproque.
    - Pour un revêtement galoisien, un élément de $\pi_1(B,b)$ induit un automorphisme du revêtement via l'action à droite que j'ai citée dans mon post plus haut.
    iv) En général, les revêtements universels sont simplement connexes (par ex., $\R$ pour $\mathcal S^1$). On ne peut pas "empiler autant qu'on veut", sauf à perdre la connexité* (mais alors le revêtement n'est plus universel) : on démontre que deux revêtements universels sont isomorphes (en tant que revêtements) et donc homéomorphes.

    *tout revêtement d'un espace $B$ simplement connexe est trivial, càd que c'est un $B\times F$, pour $F$ discret ; il n'est donc connexe que si $F=\{1\}$.
  • re,
    je remonte le fil.. il faut effectivement faire appel à GAGA et aux catégories pour faire le lien
    entre les revêtements des variétés et le groupe de Galois d'une équation.
    quelqu'un peut expliquer le principe ?

    merci
  • Dans le livre "Leçons de mathématiques d'aujourd'hui" volume 2, il y a le texte d'une conférence de Michel Raynaud:
    "Courbes algébriques et groupe fondamental".

    Il y a aussi le livre "Algèbre et théories galoisiennes" de Adrien et Régine Douady qui traite aussi, sauf erreur, de la façon dont on peut définir le groupe fondamental de façon algébrique sans passer par des lacets. (j'aimerais bien connaître ce sujet mais ce livre m'a l'air peu élémentaire)
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Il se pourrait que ce mémoire de m1 traite aussi de la manière de définir algébriquement le groupe fondamental.

    http://citron.9grid.fr/docs/memoire.pdf
  • merci.
    côté Galois, il doit y avoir des choses sympas à envisager..
    par exemple, une équation
    $a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=0$
    les coefficients sont définis à un facteur près $\lambda$ , ça fait donc 4-uplet = un point d'un espace projectif (espace connexe et compact).
    $(a_3,a_2,a_1,a_0)$
    on écrit l'équation
    $x^3-\sigma_1x^2+\sigma_2x-\sigma_3=0$
    les fonctions symétriques des racines
    $\sigma_1=x_1x_2x_3=-\frac{a_0}{a_3} ,\sigma_2=x_1x_2+x_2x_2+x_1x_3 .$
    sont caractéristiques de l'équation

    on les considère comme des indéterminées.

    du coup, les polynomes symétriques $P_n$ de degré $n$ des indéterminées $X_1,X_2,X_3$ sont de manière tout à fait canonique des polynômes (quelconques) de degré $n$ des indéterminées $\Sigma_1,\Sigma_2,\Sigma_3$
    ie, des fonctions polynomiales d'un espace affine où les points sont des équations

    on doit pouvoir appareiller une équation (équation=la donnée des $\sigma_i$)
    équation qu'on considère comme un point d'un espace affine,
    un polynome quelconque Q et une courbe projective $Q(\sigma1,..)$ de manière tout à fait canonique , donc faire de la géométrie (espaces tangents, déformations de ces courbes projectives, $\Pi_1$, lacets, etc..)

    donc une flèche
    $$K[X], \textrm{equations de degré n} \rightarrow K[\sigma_1,\sigma_2.]$$
    $$(Q_m,E_n) \rightarrow P_m(\Sigma_1,\Sigma_2...),(\sigma_1,\sigma_2..)=P_m(\sigma_1,\sigma_2..)$$

    de plus, les espaces projectifs sont des quotients de sphères et les différentes
    sphères "s'emboitent" selon des fibrés en cercles. Les fibrations de Hopf
    doivent même fonctionner avec des "cosinus abstraits",ie, avec des matrices
    de rotations façon Bourbaki (des éléments de O(2))

    donc on peut considérer les polynômes symétriques comme définis sur des sphères
    et utiliser par exemple les fibrations de Hopfs pour les revêtir.

    ii) en plus, on peut toujours rajouter trivialement des facteurs à une équation à $n$ inconnues pour la transformer en équation à $n+1$ inconnues

    par P(x)=0 en $(x-a_{n+1})P(x)=0$
    en espérant ne pas avoir écrit trop de bêtises..
  • finalement, en relisant la doc wiki sur les revêtements, on voit que les revêtements et la théorie de Galois, c'est "quasiment" la même chose.

    Concernant les revêtements, il s'agit d'applications surjectives entre espace topologiques
    (il y a p-e plus général comme définition) et les images réciproques de voisinages suffisamment petits de chaque point de base $b$ se trivialisent en une famille d'ouverts disjoints.
    est-ce que la cardinalité des piles d'assiettes est la même pour chaque point de base ?

    Dans cette situation (on suppose $B$ connexe et localement simplement connexe et aussi connexe par arcs) , il y a correspondance entre sous groupes du $\pi_1(B,b)$ de la base
    et les revêtements au dessus de $B$ . c'est de la théorie de Galois ?

    y a t il un moyen mécanique, automatique de prendre des vessies pour des lanternes,ie,
    de voir le groupe de Galois d'une équation (à vrai dire, faute d'explications ,je ne sais pas ce que c'est) comme groupe de classes d'homotopies de lacets pour une base $B$ ?

    en théorie de Galois, est-ce que l'on considère des équations sur un corps de base K
    arbitraire ? les corps ne se ressemblent pas, il y en a des "finis", des, qui ont la propriété de la valeur intermédiaire sur les applications continues , des "algébriquement clos",etc..
    et aux niveau des revêtements entre espaces topologiques, est-ce une topologie "universelle" qui serait définie en toute généralité (par la théorie des ensembles
    ou des catégories) ou est-ce une topologie qui est définie au coup par coup pour chaque équation ?

    sinon, que pourrait être le groupe de Galois de l'équation $\zeta(s)=0$ ?
    j'avais pensé qu'il pouvait exister une variété $X$, sans doute hyperbolique, sur laquelle
    étaient dessinées des géodésiques, le truc bien géométrique et que ces géodésiques pouvaient être conjuguées sous l'action d'un groupe de transformations.
    mais bon, pûr fantasme sans le moindre début de preuve...simplement l'idée qu'un zéro est "minimisant" , minimise $||\zeta(s)||^2$ et une "géodésique" est aussi minimisante.

    tout ça est capillotracté (tiré par les cheveux) dans la mesure où les chemins dans les fibres des revêtements n'ont pas de propriétés métriques (déja un cercle paramétré
    par $\frac{2t}{1+t^2}$ et $\frac{1-t^2}{1+t^2}$ a quasiment un point asymptote en (-1,0))

    merci pour vos explications, en espérant ne pas avoir écrit trop de bêtises...
  • Quelques réponses en vrac.
    1/ Le degré du revêtement (le cardinal d'une fibre) est constant sur chaque composante connexe.
    2/ Tout groupe est le groupe fondamental d'un certain espace topologique. L'analogie entre groupe de Galois et groupe fondamental est bien plus précise que ça.
    3/ Sous leur forme classique la théorie de Galois et la théorie des revêtements ne parlent pas du tout de la même chose. On peut déjà faire des analogies qui peuvent être precisés une théorie précise, mais pour pousser plus loin l'analogie il faut algébriser la situation topologique (groupe fondamental étale) alors là oui, la théorie de Galois devient un simple corolaire (de descente fidèlement plate) de la théorie du groupe fondamental étale.
    4/ Une topologie se définit au cas par cas, selon ce qu'on veut faire, cela dit il existe de vastes classes d'espaces toutes topologisées de la même façon (les variétés topologiques, les CW complexes, les variétés algébriques etc ...).
    5/ "L'équation" $\zeta(s)=0$ n'a pas de groupe de Galois (une équation n'a pas de groupe de Galois, c'est une extension galoisienne, ou un polynôme qui en a). Ceci dit il existe des recherches actuelles pour étendre la théorie de Galois aux extensions transcendantes.

    [Evariste Galois (1811-1832) prend une majuscule en toute occasion. AD]
  • merci pour votre réponse.

    i) comment a t on une idée des variétés simplement en examinant les changements de cartes ?
    ii) quand on a débuté la métrique p-adique , on doit réécrire toutes les mathématiques basée sur la métrique euclidienne ? vous conservez tout de même les fondamentaux comme les réels définis par des coupures (de Dedekind) ?
    iii) qu'est ce qu'ont d'utile les variétés de Kahler ?
  • Heu, vos questions partent un peu dans tous les sens... Peut etre devriez vous vous focaliser sur un sujet et poser des questions precises sur ce sujet là, non? C'est la seule manière d'apprendre des mathématiques.

    Quelques elements de reponse tout de même.

    i)Question trop vague.

    ii)D'un point de vue p-adique les réels n'existent pas vraiment, enfin ils ne sont pas interessant, ce qui joue le role de $\mathbb R$ c'est $\mathbb Q_p$, le complété de $\mathbb Q$ pour la valuation p-adique.

    iii) Sujet completement independant (encore que), le fait qu'une variété complexe soit kahlerienne a comme enorme avantage de pouvoir utiliser la décomposition de Hodge sur sa cohomologie, en particulier on a $A^{p,q}(X)=\mathcal H^{p,q}\oplus im d\oplus im d^*$, où $d^*$ est l'adjoint (formel) de $d$ pour la métrique $L^2$ induite par la métrique kahlerienne, $A^{p,q}$ est l'espace des formes de type $(p,q)$, lisses, à valeurs complexes, et $\mathcal H$ est l'espace des formes harmoniques.
  • Bonne nuit,

    Kähler mérite sa majuscule et son tréma quelles que soient les circonstances ! :X

    Bien cordialement.
  • Tu as l'air d'aimer à mort les maths ! :) tu es trop curieux sur la découverte de nouvelles notions de mathématiques ces temps çi ! ;)
    Tu connais ça : ?
    http://webinet.cafe-sciences.org/articles/la-geometrie-des-equations-12/
    http://webinet.cafe-sciences.org/articles/la-geometrie-des-equations-22/
    :)
  • J'aurais aimé être un collégien ,

    lycéen aujourd'hui et

    profiter de tout ce savoir sur les maths

    que les intervenants de ce forum offre

    généreusement.
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