Limite d'intégrale.
Bonsoir tout le monde,
dans un exercice, on considère une fonction de $C^1$ par morceaux. Je ne comprend pas ceci, est ce qu'elle est dérivable ou juste continue par morceaux ?
Pour avoir une idée, on suppose que $f^2$ est intégrable puis nous demande de montrer que la quantité $\dfrac{1}{\sqrt{x}} \int_0^x f(t) dt$ tend vers 0 en 0 et en $+\infty$. Vu le $f^2$, je penche pour l'inégalité de Cauchy Schwarz. Enfin, bref, c'est le $C^1 $ par morceaux qui me dérange.
Cordialement.
dans un exercice, on considère une fonction de $C^1$ par morceaux. Je ne comprend pas ceci, est ce qu'elle est dérivable ou juste continue par morceaux ?
Pour avoir une idée, on suppose que $f^2$ est intégrable puis nous demande de montrer que la quantité $\dfrac{1}{\sqrt{x}} \int_0^x f(t) dt$ tend vers 0 en 0 et en $+\infty$. Vu le $f^2$, je penche pour l'inégalité de Cauchy Schwarz. Enfin, bref, c'est le $C^1 $ par morceaux qui me dérange.
Cordialement.
Réponses
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la définition que je connais de $C^1$ par morceaux c'est comme continue par morceaux, sauf que tu remplaces "continue" par C1
.
c'est à dire sur chaque ségment il existe une subdivision finie telle que sur chaque ségment de la subdivision la fonction est C1
sinon, au vu de la gueule de ton intégrale, je pencherai pour une intégration par parties -
Bonjour,
juste une petite remarque toute simple par rapport à la définition. Rien n'empêche une fonction $C^1$ par morceaux d'être continue. Par exemple, la fonction "triangle" est continue et $C^1$ par morceaux (vu que sa dérivée est continue par morceaux). C'était peut-être cela qui dérangait Souki.
Cordialement,
Mister Da -
Oui elle peut aussi être de plus continue (c'est le type de fonctions étudiés en prépa dans les séries de Fourier pour avoir la convergence uniforme )
l'hyposthese ici est à mon avis une invitation à l'intégration par partie (vu qu'en prépa, C1 par morceaux est la condition la plus faible requise dans le programme pour faire intégration par parties ) -
il y a une méthode "super tanker"
relativement simple , que je calque sur la démo du théorème de Riemann Lebesgue.
tu démontres le résultat pour les fonctions en escalier à support borné , et tu conclues par densité.
ça parait assez sorcier dit comme ça, mais c'est totalement au programme de prépa, et on peut le faire en deux trois lignes -
par exemple , prenons $(f_n)_{(n \in \N)}$ une suite de fonctions en escalier, à supports bornés, convergeant vers $f$ en norme $L^1$ , on a alors :
$| \dfrac{1}{\sqrt{x}} \int_0^x f(t) dt| \leq \dfrac{1}{\sqrt{x}} \int_0^x |f(t)| dt \leq \dfrac{1}{\sqrt{x}}( \int_0^x |f_{n}(t) - f(t)| dt + \int_0^x |f_{n}(t)|dt ) \leq \dfrac{1}{\sqrt{x}} N_{1} (f_n - f) + \dfrac{1}{\sqrt{x}} \int_0^x |f_{n}(t)|dt $
pour $\epsilon$ positif, il existe $n_0$ à partir duquel on peut majorer la norme 1 par $\epsilon$ , on prend ce $n_0$ , il existe un $x_0$ (qui dépend bien sur du $n_0$ et donc du $\epsilon$ ) tel que pour tout $x$ supérieur à $x_0$ on a $ \dfrac{1}{\sqrt{x}} \int_0^x |f_{n}(t)|dt \leq \epsilon$
du coup , pour tout $x$ supérieur à $x_0$ , on a : $| \dfrac{1}{\sqrt{x}} \int_0^x f(t) dt| \leq \epsilon (1/\sqrt{x} +1)$ , ce qui suffit à conclure -
Ce sont les exos 222 et 223 d'Hardy, Littlewood and Polya 'Inequalities' dans le cas $p=2.$ La fonction $f$ y est mesurable et non nécessairement avec la condition artificielle $C^1$ par morceaux.
-
Bonsoir,
Je pense que l’intérêt de tels exercices est avant tout de comprendre l'intégrabilité en terme de « masse ». Pour tout $\epsilon > 0$ on peut trouver un $a > 0$ tel que $\int_a^\infty f^2 \leq \epsilon$, c'est à dire que la masse de $f^2$ est portée par $[0,a]$ à $\epsilon$ prêt. On en déduit avec l'inégalité de Cauchy-Schwarz que pour tout $x$ assez grand, $\left|\frac{1}{\sqrt{x}} \int_0^x f- \frac{1}{\sqrt{x}} \int_0^a f \right| \leq \frac{1}{\sqrt{x}} \sqrt{x-a} \times \sqrt{\epsilon}$. Il reste à faire tendre $x$ vers $\infty$. -
Effectivement Ju'x , je le pense aussi , c'est pour ça que j'ai voulu faire la densité des fonctions en escalier A SUPPORT BORNEES elle illustre le fait que les fonctions limites ont leur "masse" concentrée sur un domaine borné
mais il est vrai que ta démo est beaucoup plus simple et élégante (tu) -
Pour tout $\epsilon > 0$ on peut trouver un $a > 0$ tel que $\int_a^\infty f^2 \leq \epsilon$
Pourquoi l'intégrale de $a$ à $+\infty$.
$f^2$ est intégrable donc la fonction $ x \to \int_0^x f^2(t) dt $ est majorée. En notant $A$ un majorant, l'inégalité de Cauchy-Schwarz implique que $|\dfrac{1}{\sqrt{x}} \int_0^x f(t) dt | \le \sqrt{A}$ et ce pour tout $x>0$. Mais il est vrai que cela ne permet pas de conclure quant au comportement en 0 et en $+\infty$ . -
souki , c'est parce que le reste de l'intégrale tend vers zéro, car $f²$ est intégrable
-
En fait, pour comprendre ce qu'a écrit Ju'x :
pour tout $\epsilon >0$ , $\exists a>0$ tel que $\forall x>a$ $\int_0^x f^2 < \epsilon + \underline{\int_0^a f^2} \Rightarrow \int_a^x f^2 < \epsilon \Rightarrow \int_0^{+\infty} f^2 \le \epsilon$.
C'est l'intégrale souligé qui me pose problème, il faut choisir quelque chose qui ne dépende pas de $a$.
Ainsi, je n'arrive pas à expliquer, et donc à comprendre, la proposition "pour tout " $\epsilon >0$, $\exists a>0$ tel que $\int_a^{+\infty} f^2 < \epsilon$ " -
Bonjour Souki,
L'intégrabilité de la fonction positive $f^2$ sur $[0,\infty[$ signifie que $\sup_{a > 0} \int_0^a f^2$ est fini ; on note alors $\int_0^\infty f^2$ ce sup, et $\int_a^\infty = \int_0^\infty - \int_0^a$. En conséquence de l'intégrabilité on a donc :
$\lim_{a\to\infty} \int_a^\infty f^2= 0$, ce qui est la propriété que j'ai exprimée avec le $\epsilon$. -
Oui, maintenant je comprend. En fait, le reste d'intégrale dont Miskha a parlé n'est que $\int_a^\infty = \int_0^\infty - \int_0^a$. C'est comme pour les séries. Juste que je n'avais jamais entendu parler de reste d'intégrale avant.
-
Juste une autre petite question si vous le permettez : avant de faire tendre $x$ vers $+\infty$ dans $\left|\frac{1}{\sqrt{x}} \int_0^x f- \frac{1}{\sqrt{x}} \int_0^a f \right| \leq \frac{1}{\sqrt{x}} \sqrt{x-a} \times \sqrt{\epsilon}$, est ce qu'il ne faut pas d'abord vérifier que $\frac{1}{\sqrt{x}} \int_0^x f$ admet une limite finie en $+\infty$
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bonjour, il me semble que l'inégalité de Jensen permet la résolution du problème en $+\infty$ sans difficulté.A demon wind propelled me east of the sun
-
Bonsoir,
Un rapide passage, et je fais remonter ce fil très intéressant.
@Miskha : qu'appelle t-on un support borné?
Dans mon esprit, un support en analyse est un intervalle sur lequel une fonction s'annule. Mais, je ne vois pas la "valeur-ajoutée" de bornée.
Merci pour l'éclaircissement,
Cordialement,
Clotho -
Attention Clothoïde,
tu as inversé la notion de support : Il s'agit de l'adhérence de l'ensemble des valeurs pour lesquelles la fonction n'est pas nulle. Pour un polynôme non nul, c'est donc $\mathbb R$, non borné.
Cordialement. -
Souki , oui tu as raison, en général il faut montrer que la limite existe avant de tendre $x$ vers l'infini . Sauf qu'ici c'est plus simple , on a :
$\dfrac{\sqrt{x-a}}{\sqrt{x}} \le 1$ (car $\sqrt{x-a} \le \sqrt{x}$ ) , ce qui permet de conclure directement avec la définition de la limite
@clothoide , gerard a tout dit -
Merci Gérard pour la réponse à mon interrogation.
A bientôt,
Clotho
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