Développement limité d'une intégrale.

Bonsoir tout le monde,
l'énoncé d'un exo est le suivant :
Soit une fonction $f$ de $[0,1]$ vers $\R$ continue. On pose pour tout $n \in \N$, $u_n=\int_0^1 t^n f(t) dt$.
On nous demande d'abord de montrer que $(u_n)_{n \in \N}$ tend vers 0. Ce qui est immédiat en majorant la valeur absolue de la suite et en remarquant que $f$ est continue sur un segment donc bornée sur ce segment.
Après, on nous demande de déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que l'on ait lorsque $n \to +\infty$ : $u_n=a+\frac{b}{n} + o(\frac{1}{n})$.
Je dis que $a=0$ car la suite tend vers 0. Mais je ne vois pas la démarche à suivre pour déterminer $b$.
Des idées ?
Cordialement.

Réponses

  • Je présume qu'il faut étudier la suite $n \int_0^1 t^n f(t) dt $...
  • Mais je n'arrive pas à trouver sa limite ...
  • Indication: où $t^n$ est-il le plus gros sur $[0,1]$ ? (ceci afin d'identifier la contribution principale )
  • au voisinage de 1
  • Oui, donc vois-tu comment traiter le problème ?
  • Bonjour,

    Pour rebondir sur la remarque d'Aléa, il faut peut-être exploiter la découpe suivante :
    Soit $\epsilon \in ]0,1[$, $u_n= \int_{0}^{1- \epsilon} + \int_{1- \epsilon}^{1}$

    Cordialement,
    Clotho
  • Sinon on peut utiliser une formule de la moyenne (vu que $t^n$ est positif sur $[0,1]$) pour avoir $u_n=f(c)\displaystyle \int_0^1t^ndt=\frac{f(c)}{n+1}$ avec $c\in ]0,1[$...mais ça ne donne explicitement $b$.
  • il pourrait y avoir du Banach-Steinhaus dans ce truc.
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  • Banach Steinhaus ? Comment ?

    Une fois que tu as vu que la contribution principale est en $1$, une manière d'éclaircir un peu les choses et d'écrire $f=f(1)+ [f-f(1)]$. Cela te donne, après intégration, deux termes. Le premier est explicite, le deuxième peut se traiter avec le découpage de Clothoïde.
  • en posant $\ell_n(f) = (n+1) \int_{0}^{1} \; t^n f(t) \; \mathrm dt $, on a $| \ell_n (f) | \; \leq \; || f||_{\infty} $ dans la mesure où $f$ est continue sur l'intervalle [0; 1] et la suite de forme linéaires ainsi constituée est donc uniformément bornée mais on ne peut pas dire que ce soit très utile vu que la bornitude uniforme est plutôt une des conséquences de BS
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  • \begin{eqnarray*}
    (n+1)\int_0^1 |f(t)-f(1)|t^n\ dt &= &(n+1)\int_0^{1-\alpha} |f(t)-f(1)|t^n\ dt +(n+1)\int_{1-\alpha}^1 |f(t)-f(1)|t^n\ dt\\&\le& 2\|f\|_{\infty} (1-\alpha)^{n+1}+\sup_{t\in [1-\alpha,1]} |f(t)-f(1)|
    \end{eqnarray*}
  • Je suis désolée de vous décevoir, mais je ne pense pas avoir saisi ce que vous projettez.
    Si on découpe $u_n$ comme l'a proposé Clothoïde, le terme prépondérant est $\int_{1-\varepsilon}^1 t^n f(t) dt$.
    Je dois donc déterminer le $b$ en calculant la limite de cette intégrale ...
  • Oui Aléa, je comprend votre majoration.
    J'en déduis que $\int_0^1 |f(t)-f(1)|t^n\ dt$ tend vers 0 lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
    Mais cette quantitté est supérieure à $|\int_0^1 f(t) t^n dt - \frac{f(1)}{n+1}|$ donc $u_n$ équivaut à $\frac{f(1)}{n+1}$. Par conséquent, $b=f(1)$.
  • y= t^n changement variable

    u(n)= f(1)/n - f(1)/n^2 + O(1/n^3)
  • @gilles:

    "mais on ne peut pas dire que ce soit très utile"

    Si si... Avec ta remarque + le théorème de Weierstrass et un peu de travail , il suffit d'étudier le cas $f(x)=x^k$.
  • bon pour en rajouter un peu, si on suppose $f$ de classe $C^1$, on gagne immédiatement un terme dans le développement asymptotique.
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  • Oui, Gilles Benson, j'ai travaillé d'abord avec cette hypothèse, une intégration par partie fait l'affaire, puis je suis passé au cas où $f$ est continue seulement. :)
  • dans ce cas, pour reprendre la remarque d'aléa, par densité des fonctions de classe $C^1$ dans les fonctions continues tu pouvais imaginer le résultat
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  • ouah , comme disait un de mes profs de prépa "il ne faut pas utiliser des marteaux pour tuer des mouches" :D .

    Je pense que c'est pas la peine d'invoquer de la densité et du Banach Steinhaus , on peut résoudre le problème avec un bagage de terminal .

    Il suffit de combiner les idées de clothoide et chris . On utilise la formule de la moyenne , mais sur la partie droite de l'intervalle découpé :
    [1-epsilon , 1 ]

    la constante c dépend de epsilon, on peut alors montrer en tendant epsilon vers 1 que c doit être égale à 1 .

    Cordialement
  • f(1)
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  • Salut Gilles ,
    je voulais plutôt parler de c la constante du TVI , la constante b recherchée est f( c ) :)
  • le marteau pilon pour écraser une noix certainement; ensuite on peut faire un peut comme on veut; simplement, le résultat que souki avait obtenu par intégration par parties devait lui fournir un élément de réponse dans le cas plus général d'une fonction continue; en fait pour utiliser la preuve développée par aléa, il suffit que la fonction soit continue en 1 et Riemann intégrable sur le segment.
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  • Bonsoir à tous,

    Voilà ce que j'ai retrouvé dans mes notes :

    1) si f est C1, alors u_n = f(1)/n +o(1/n)

    2) si f est C2, u_n = f(1)/n - [f(1) + f '(1)]/n^2 +o(1/n^2)

    Je n'ai pas de formule générale.

    D.S
  • J'imagine que la formule générale est tirée d'intégrations par partie successives, et on conclut sur la dernière dérivée en utilisant les méthodes citées précédemment.
  • en fait la formule d'intégration par parties itérée donne immédiatement : $$
    \int_{0}^{1} \; t^n f(t) \; \mathrm dt \; = \; \sum_{k=0}^{N} \; \dfrac{(-1)^k f^{(k)}(1)}{ \prod_{i=0}^{k} (n+i+1) } \; + \; \dfrac{(-1)^{N+1}}{ \prod_{i=0}^{N} (n+i+1) } \; \int_{0}^{1} \; t^{n+N+1} f^{(N+1)}(t) \; \mathrm dt
    $$ et on obtient un développement asymptotique suivant l'échelle des \quad $ v_{n,k} = \dfrac{1}{ \displaystyle \prod_{i=0}^{k} (n+i+1) } $
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