Exp

terminator2
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dans Analyse
Bonsoir, en terminale : on a établi que pour tout réel a et tout entier relatif n, exp(na)= [exp((a)]^n

et en notant, exp(1) par e , on a alors: pour tout entier relatif n, exp(n)= [exp(1)]^n=e^n

On choisit, alors, par convention d'étendre cette notation aux réels et on pose:

pour tout réel x, exp(x)=e^x

Comment justifier ce qui est souligné?

Réponses

  • Magnolia
    Magnolia
    Bonjour

    En principe on n'a pas à justifier une convention!

    Mettons qu'on arrive facilement à partir des entiers à justifier que pour tout rationnel $r$ on a $exp(1)^r=e^r$, et ensuite c'est une histoire de prologement par continuité...
  • Don Corleone
    Don Corleone
    Tu le fais d'abord pour les rationnels avec les opérations usuelles sur les puissances, puis par densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$ pour les réels.
  • terminator2
    terminator2
    merci, pour les rationnels, il suffit de l'écrire ; je veux dire il découle de la propriété valable dans Z?
  • Magnolia
    Magnolia
    Oui, commence par le démontrer pour $1/n$
  • terminator2
    terminator2
    1/n? exp(1/n)=racine n-ème de e?
  • Magnolia
    Magnolia
    Oui, mais tu dois le prouver en utilisant ce que tu sais déjà sur les entiers.
  • terminator2
    terminator2
    ok pas évident
  • Magnolia
    Magnolia
    Que vaut $((exp(1/n))^n$?
  • breukin
    breukin
    Et plus généralement, que vaux $ \displaystyle \exp^q(p/q) $ ?
  • breukin
    breukin
    Notons que si Q est dense dans R, il ne l'est pas dans C. Et donc l'extension à C de l'expression $ e^z $ est pour le coup purement conventionnelle.
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