limite d'une suite
Réponses
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Bonsoir,
Comme ça à froid, et instinctivement, j'aurais envie d'exploiter la continuité de f et la dérivabilité en 0 avec un petit coup de formule de Taylor (avec quel reste, à voir) à l'ordre 1. Non?
edit : on oublie mon indication.
Cordialement,
Clotho -
Je pense qu'il faut distinguer le cas $f(0)=0$ du cas $f(0)\neq 0$ et à vue de nez la dérivabilité en 0
semble ne servir que pour ce 2e cas, pour le premier la continuité seule permet de conclure.
Eric
[Edit: j'ai évidemment inversé à la fin, la continuité seule suffit pour le 2e cas et la dérivabilité pour le premier... sorry] -
Dans le cas C1 la limite semble être f'(0) ln 2.
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Dans le cas f(0)= 0 bien sur
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ce truc est un grand classiqueA demon wind propelled me east of the sun
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oui,
en utilisant l approximation de la serie harmonique par ln n et gamma et ecrivant la somme que tu cherches comme la difference de la serie harmonique entre 2n et n on a le bon resultat.
l'idee de la preuve est d'ecrire la fonction comme l integrale de sa derivee puis passer la somme a l'interieur de l'integrale, encadrer la fonction avec la somme par des termes C1 par morceaux contenant (1/t). enfin calculer les differentes integrales de l'encadrement. -
A ceci près quand même qu'on ne sait pas si la fonction est dérivable ailleurs qu'en 0...
Eric -
Taylor-Young + Cesarò alors ?
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Que vient faire Cesàro dans l'histoire ?
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Il permet de donner une limite à la somme des o(1/(n+k)) si je ne m'abuse...
Mais j'ai peut-être voulu aller trop vite (la preuve en est l'accent au mauvais endroit) -
Donc voici l'idee sous l'hypothese C1 : $I_n$ est la somme que l on cherche.
$I_n = \int_0^1 {\sum_{k=n+1}^{2n} {\mathbf{1}_{\{t \leq \frac{1}{k}\}}} f'(t) dt}=\int_0^1 {h_n (t) f'(t) dt}$. On definit $g_n (t) := \frac{1}{t} -n$ sur $[\frac{1}{2n},\frac{1}{n}]$ et $f_n (t)=\frac{1}{t} -n-1$ sur $[\frac{1}{2n+1},\frac{1}{n+1}]$ et des bonnes constantes en dehors pour avoir la continuite. Selon le signe de $f'(0)$ on peut encadrer $I_n$ par $\int_0^1 {f_n (t) f'(t) dt} \leq I_n \leq \int_0^1 {g_n (t) f'(t) dt} $ il suffit de calculer les differents limites des 2 cotes pour voir qu'ils sont identiques et valent $f'(0) ln(2)$. (si je me trompe pas) -
Il me semble que Taylor-Young dans sa version forte suffit
($f$ dérivable en 0 et continue sur l'intervalle):
Si $f(0)=0$ alors au voisinage de $0$ $f(x) = xf'(0) + x\epsilon(x)$
avec $\epsilon(x)$ tendant vers $0$ en $0$.
Donc $\sum_{k=1}^n f(1/(n+k)) - f'(0)\sum_{k=1}^n 1/(n+k) = \sum_{k=1}^n 1/(n+k) \epsilon(1/(n+k))$
qu'il est facile de majorer pour montrer que ca tend vers 0. Ensuite la limite de $\sum_{k=1}^n 1/(n+k)$
peut s'obtenir par comparaison avec des integrales de $1/x$.
Eric -
Ensuite la limite de $ \displaystyle \sum_{k=1}^n 1/(n+k)$
Comment $\displaystyle \sum_{k=1}^n 1/(n+k) \epsilon(1/(n+k))$ tend vers $0$? -
Soit $\epsilon_1 >0$ , il existe $\eta$
tel que $|\epsilon(x)|<\epsilon_1$ quand $x< \eta$
Donc si $n > 1/\eta$, $\epsilon(1/(n+k)) < \epsilon_1$
et $|\sum_{k=1}^n 1/(n+k) \epsilon(1/(n+k))| < n/n \epsilon_1$.
Eric
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