limite d'une suite

Salut;
quelle est la limite de cette suite u_n= som f( 1/(n+k) ); k=1...n ou f une fonction continue sur [0 , 1] , derivable en 0 ???

Réponses

  • Bonsoir,

    Comme ça à froid, et instinctivement, j'aurais envie d'exploiter la continuité de f et la dérivabilité en 0 avec un petit coup de formule de Taylor (avec quel reste, à voir) à l'ordre 1. Non?

    edit : on oublie mon indication.

    Cordialement,
    Clotho
  • Je pense qu'il faut distinguer le cas $f(0)=0$ du cas $f(0)\neq 0$ et à vue de nez la dérivabilité en 0
    semble ne servir que pour ce 2e cas, pour le premier la continuité seule permet de conclure.

    Eric

    [Edit: j'ai évidemment inversé à la fin, la continuité seule suffit pour le 2e cas et la dérivabilité pour le premier... sorry]
  • Dans le cas C1 la limite semble être f'(0) ln 2.
  • Dans le cas f(0)= 0 bien sur
  • @ltsobi: As tu tester $f(x)=x$?
  • ce truc est un grand classique
    A demon  wind propelled me east of the sun
  • oui,
    en utilisant l approximation de la serie harmonique par ln n et gamma et ecrivant la somme que tu cherches comme la difference de la serie harmonique entre 2n et n on a le bon resultat.

    l'idee de la preuve est d'ecrire la fonction comme l integrale de sa derivee puis passer la somme a l'interieur de l'integrale, encadrer la fonction avec la somme par des termes C1 par morceaux contenant (1/t). enfin calculer les differentes integrales de l'encadrement.
  • A ceci près quand même qu'on ne sait pas si la fonction est dérivable ailleurs qu'en 0...

    Eric
  • Taylor-Young + Cesarò alors ?
  • Que vient faire Cesàro dans l'histoire ?
  • Il permet de donner une limite à la somme des o(1/(n+k)) si je ne m'abuse...
    Mais j'ai peut-être voulu aller trop vite (la preuve en est l'accent au mauvais endroit)
  • Donc voici l'idee sous l'hypothese C1 : $I_n$ est la somme que l on cherche.

    $I_n = \int_0^1 {\sum_{k=n+1}^{2n} {\mathbf{1}_{\{t \leq \frac{1}{k}\}}} f'(t) dt}=\int_0^1 {h_n (t) f'(t) dt}$. On definit $g_n (t) := \frac{1}{t} -n$ sur $[\frac{1}{2n},\frac{1}{n}]$ et $f_n (t)=\frac{1}{t} -n-1$ sur $[\frac{1}{2n+1},\frac{1}{n+1}]$ et des bonnes constantes en dehors pour avoir la continuite. Selon le signe de $f'(0)$ on peut encadrer $I_n$ par $\int_0^1 {f_n (t) f'(t) dt} \leq I_n \leq \int_0^1 {g_n (t) f'(t) dt} $ il suffit de calculer les differents limites des 2 cotes pour voir qu'ils sont identiques et valent $f'(0) ln(2)$. (si je me trompe pas)
  • Il me semble que Taylor-Young dans sa version forte suffit
    ($f$ dérivable en 0 et continue sur l'intervalle):
    Si $f(0)=0$ alors au voisinage de $0$ $f(x) = xf'(0) + x\epsilon(x)$
    avec $\epsilon(x)$ tendant vers $0$ en $0$.
    Donc $\sum_{k=1}^n f(1/(n+k)) - f'(0)\sum_{k=1}^n 1/(n+k) = \sum_{k=1}^n 1/(n+k) \epsilon(1/(n+k))$
    qu'il est facile de majorer pour montrer que ca tend vers 0. Ensuite la limite de $\sum_{k=1}^n 1/(n+k)$
    peut s'obtenir par comparaison avec des integrales de $1/x$.

    Eric
  • Ensuite la limite de $ \displaystyle \sum_{k=1}^n 1/(n+k)$
    Tu peux la calculer en utilisant Riemann. Elle vaut $\ln(2)$.


    Comment $\displaystyle \sum_{k=1}^n 1/(n+k) \epsilon(1/(n+k))$ tend vers $0$?
  • Soit $\epsilon_1 >0$ , il existe $\eta$
    tel que $|\epsilon(x)|<\epsilon_1$ quand $x< \eta$
    Donc si $n > 1/\eta$, $\epsilon(1/(n+k)) < \epsilon_1$
    et $|\sum_{k=1}^n 1/(n+k) \epsilon(1/(n+k))| < n/n \epsilon_1$.



    Eric
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