équivalent d'une intégrale

Bonjour

$\displaystyle a>1 ,\ b>0,\quad f(x)=\int_{1}^{+\infty}a^{t.b}x^{a^{t}}dt$
Trouver un équivalent de $f(x)$ quand $x$ tend vers $1^{-}$.

Merci pour vôtre aide

Réponses

  • Est-il possible que l'équivalent soit de la forme $\dfrac{A}{(1-x)^b}$ ?
    Je n'ai pas d'idée pour trouver le $A$.

    [La case LaTeX. AD]
  • personne pour un coup de pouce ?
  • Bonjour,

    Il y a longtemps que je n'ai pas pratiqué, mais une suggestion qui ne mène peut-être nulle part, je n'en sais rien.

    En constatant dans l'intégrande que $a^{tb}=(a^{t})^{b}$, on effectue le changement de variable $u=a^t,\ du=t a^{t-1}dt$ .... et ?
    Cordialement,
    Clotho
  • En faisant un changement de variables $u=t\ln a$ on se ramène au cas $a=e$. Expérimentalement on trouve un équivalent
    $$\frac{\Gamma(b)}{(\ln a)(1-x)^b}.$$
    Reste à le prouver, si c'est vrai.

    Edit : j'ai corrigé une petite erreur.
  • P.S. Oui, évidemment le changement de variables $u=a^t$ marche.
  • clothoide le changement de variable marche

    JLT j'ai trouvé la même chose que toi

    merci les amis
  • Pourquoi ces questions d'asymptotique puisque c'est calculable explicitement en $\Gamma(b)/(-\log x)^b?$
  • Effectivement Gérard c'est calculable directement , merci
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