Loi binomiale

Bonjour,

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, et $Y$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres $f(n)$ et $p$, avec $f$ croissante et $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\dfrac{n}{f(n)}}=0$.
Existe-t-il un entier $N_0$ tel que, si $n>N_{0}$, $\Big\vert \dfrac{X}{n}-\dfrac{Y}{f(n)}\Big\vert<\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ ?
Merci d'avance.

Réponses

  • Il manque quelque chose comme l'espérance quelque part non ? La variable X peut prendre la valeur n et Y la valeur 0 par exemple, et on ne risque pas d'avoir cette relation.
  • J'ai oublié de préciser qu'on a toujours $n<f(n)$.
  • hein veut dire $ \mathrm{E} \left( \left \vert \dfrac{X}{n}-\dfrac{Y}{f(n)} \right \vert \right) <\dfrac{1}{\sqrt{n}} $
    je pense
    A demon  wind propelled me east of the sun
  • Gilles, l'espérance que tu as écrite est nulle non ?
  • Sylvain,

    si tu as lu vraiment la réponse de Hein, tu as compris que les valeurs (réalisations) de $X$ et $Y$ ne permettent pas de vérifier ton inégalité.
    Mais est-ce bien cette inégalité qui t'intéresse ? Avec des variables aléatoires, il est très rare que ce soient les valeurs qu'on étudie asymptotiquement. Car ces valeurs peuvent varier grandement (par exemple $\frac X n$ varie de 0 à 1, $\frac Y{f(n)}$ aussi, comme tu le sais).

    Cordialement.
  • Non, l'espérance n'est pas nulle. S'il n'y avait pas de valeurs absolues, ce serait le cas.

    Cordialement.
  • Bonsoir,

    S'il y a bien l'espérance, il me semble qu'on peut conclure avec Jensen concave (majoration de l'espérance de la valeur absolue par la racine de l'espérance du carré).

    Amicalement,
  • Bonsoir Kuja,

    peux-tu détailler s'il te plaît ?
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