Idéal non-finiment engendré

corneliusgoh · April 2012

Bonjour !

Soit $R =\{a_0+a_1X+a_2X^2+\ldots+a_nX^n\}$, où $a_0 \in \mathbb{Z}$ et les autres coefficients sont des nombres rationnels.
Soit $I =\{a_1X+a_2X^2+\ldots+a_nX^n\}$ où tous les coefficients sont des nombres rationnels.

Je suis arrivé à démontrer que $I$ est un idéal de $R$, mais pas la suite :
Démontrer que $I$ n'est pas finiment engendré comme $R$-module ?

Please help !
Merci beaucoup en avance !

GreginGre · April 2012

ça manque de quantificateurs, tout ça.

Si $I$ est engendré par $P_1,..,P_m$, on pose $P_i=Xr_i +X^2Q_i, r_i\in\mathbb{Q}, Q_i\in \mathbb{Q}[X]$.

1) Montre que tout élément de $I$ s'écrit sous la forme $Xr+X^2S,$ où $r\in \Z r_1+\cdots+\Z r_m$ et $S\in\mathbb{Q}[X]$.

2) Conclues.

corneliusgoh · April 2012

Merci de ta réponse rapide.

Comment tu conclus 2) que I soit non-finiment engendré (not finitely generated) comme un R-module, à partir de 1) ?

GreginGre · April 2012

Regarde l'ensemble des coefficients en $X$ des éléments de $I$ . Que peux-tu dire de sa structure ?
Maintenant, essaye d'obtenir une contradiction.

PS: je doute que tu aies beaucoup réfléchi à mes indications, vu que tu as posté moins de 20 minutes après moi. Sache que je ne suis pas là pour faire l'exo à ta place, et que je ne te donnerai pas la solution.

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