Un système projectif d'anneaux

Ayoub
Ayoub
dans Algèbre
Bonsoir,

Soit A un anneau (commutatif unitaire). L'ensemble des A/I où I est un idéal de A (que je suppose de plus non nilpotent (ie, Spec(A/I) est un fermé strict de Spec(A)) forment un système projectif il me semble. Appelons B la limite projective.
Est-ce-que B caractérise A?
Même dans le cas où A=Z, ça ne me paraît pas clair (mais j'aimerais vraiment que ça soit vrai). J'imagine que si la réponse est "oui", il doit y avoir une construction très générale qui permette de faire ce genre de choses. Mais là, je vois pas.

:)

Réponses

  • marco
    marco
    Bonsoir,

    Est-ce que $A_1=\Z/4\Z$ et $A_2=\Z/8Z$ ne forment pas un contre-exemple ?
    Les $B$ sont tout deux égaux à l'anneau nul. Donc $B_1=B_2$, mais $A_1 \neq A_2$.
  • Ayoub
    Ayoub
    Arf, vous vous êtes engoufré dans la faille. Pour ce qui m'intéresse Spec(A) a au moins deux points, est irréductible et je suis prêt à accepter qu'on le suppose même réduit (A intègre mais pas un corps quoi).
  • marco
    marco
    Et si on prend $A_1=\Z$ et $A_2$ le complété de $\Z$, il me semble qu'ils ont le même $B$ ?
    Le complété, c'est le produit $\Pi_p \Z_p$ où $p$ décrit l'ensemble des nombres premiers.
    Edit: Erreur, le complété n'est pas intègre...
  • Ayoub
    Ayoub
    En fait mon problème de départ est le suivant:

    Soit X un schéma dont l'espace sous-jacent est homéomorphe à celui d'un schéma affine. X est-il lui-même affine?

    Si X vérifie la propriété tous ses schémas fermés aussi (un fermé d'un affine est affine) et si X est réduit à un point c'est clair. J'ai donc envie de faire une 'tite récurrence noethérienne.

    Si X est réductible, tous les points sont dans un fermé strict donc je peux espérer retrouver X (j'ai pas encore vérifier mais j'y crois). Si X est irréductible, je rate le point générique et j'ai pas la moindre idée pour le récupérer. Même dans le cas de Z je ne vois pas comment faire.

    Une idée ou un contre-exemple?
  • GreginGre
    GreginGre
    Est-ce que ça forme vraiment un système projectif?
    L'ensemble des idéaux non nilpotents est-il filtrant à droite, i.e. si on a deux idéaux $I$ et $J$ non nilpotents, existe-il toujours un idéal $K$ non nilpotent qui contienne $I$ et $J$ ?
  • Ayoub
    Ayoub
    Pour moi un système projectif n'est pas forcément filtrant.

    Edit: et la réponse est non il me semble (ne serait-ce avec A=Z...)
  • afk
    afk
    Il existe une caractérisation des espaces topologiques sous-jacents aux schémas affines lien qui peut t'aider.

    A première vue, une droite projective $\mathbb{P}^1$ vérifie les hypothèses et fournirait donc un contre-exemple.
  • Ayoub
    Ayoub
    Arf, zut. Bon... tant pis pour moi. Merci afk.
  • afk
    afk
    A propos de la question sur les limites projectives, il me semble qu'on peut donner le contre exemple suivant:

    $A_1 = \C[T]$. Alors $B_1 = \varprojlim A_1/I = \prod_{x\in \C} \C[\![T-x]\!]$

    $A_2 = \C[T^{\pm 1}]$. Alors $B_2 = \varprojlim A_2/I = \prod_{x\in \C^\times} \C[\![T-x]\!]$.

    Une bijection entre $\C$ et $\C^\times$ définit un isomorphisme $B_1 \simeq B_2$ mais $A_1\neq A_2$.
  • Ayoub
    Ayoub
    Merci pour le contre-exemple. Mais par contre, je ne vois pas vraiment en quoi P^1 est un contre-exemple. Il est homéomorphe à quel schéma affine?
  • Ga?
    Ga?
    afk faisait référence au résultat principal de cet article de M. Hochster. Tu devrais peut-être y jeter un oeil.
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