fonction entière

Soit $ (a_{n})$ une suite décroissante telle que $a_n$ tend vers zéro, donc on définit : $ f(x)= \sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_{n}x)^n$ pour tout $x$ réel.
Montrer que si : $\sum a_{n}$ diverge alors l'intégrale : \quad$\displaystyle \int_{1}^{\infty} \frac{\log\big(f(x)\big)}{x^2} dx $ diverge

Je voudrais bien des indications pour ce problème.
Merci

[Corrigé selon ton indication ($x^2$ au lieu de $x$ au dénominateur). AD]

Réponses

  • Si $x\geq 1$, la série définissant $f$ diverge sous tes hypothèses, non ? Non, désolé, je n'avais pas vu la parenthèse(:P)
  • L'énoncé paraît extrêmement étrange. Il existe au un moins un $a_n$ non nul puisque la série diverge. Alors on a toujours $f(x)\geq (a_n x)^n$ (pour $x\geq0$). Et ceci suffit à montrer $\lim_{x\to+\infty} f(x) = +\infty$. Ceci à soi tout seul implique la divergence de l'intégrale. C'est rare d'avoir un énoncé où l'on a autant d'hypothèses exotiques et superflues. D'où provient-il?
  • ah divisé par $x^2$! ça change tout faut aller voir le livre de Koosis, The Logarithmic integral... c'est soit très dur soit abordable: dis-nous d'où ça sort, car je n'ai pas envie de redémontrer le théorème de Beurling-Malliavin ce soir
  • @Gottfried :l'exo vient du TD d'un prof de spéciale , j'ai séché pendant 4 jours sans aucun résultat :s
  • comme ça sans aucune indication? aucun contexte? ça doit être faisable alors, mais toute info serait hautement appréciée.
  • c'est bon, considère $2/a_n \leq x \leq 2/a_{n+1}$ et minore $f(x)$ par $2^n$ sur cet intervalle.
  • plus précisément tu fais cela jusqu'à un certain $2/a_N$ et ensuite tu minores pour $x\geq 2/a_N$ jusqu'à l'infini par $2^N$. Cela te donnera des sommes finies qui sont des sommes partielles de la série $\sum a_n$. Tu fais ensuite $N \to \infty$.
  • Bonsoir,

    2 questions.

    1°) les coefficients $a_n$ sont positifs ou négatifs? Ou peu importe?

    2°) Peut-on exploiter la quantité $\int_{1}^{n} \frac{\log\big(f(x)\big)}{x^2} dx$ lorsque n tend vers l'infini de façon à prouver la divergence?
    Comme cela, une intégration par parties peut-être...

    Cordialement,
    Clotho
  • Hello,
    Le 1 se déduit de décroissante tendant vers 0 en fait....

    Eric
  • @Gottfried : merci beaucoup , tout ce que je peux dire c'est que je suis allé trop loin
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