Comment trouver le supplémentaire d'un sev ?

Bonsoir tout le monde,
étant donné un sev F, comment chercher son supplémentaire ?
Par exemple, si on considère l'ensemble $F= \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 / x+y+z=0\}$, quelle méthodologie suivre pour trouver son supplémentaire ?
J'ai essayé de commencer comme suit, mais ca ne m'amène pas à grand chose :
Soit G le supplémentaire de F donc si $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$, alors il existe deux unique triplets $(x_F,y_F,z_F)$ et $(x_G,y_G,z_G)$, l'un de F et l'autre de G tels que $(x,y,z)=(x_F+x_G,y_F+y_G,z_F+z_G)$ , et j'écris les caractéristiques de F, sans trop savoir par où passer pour arriver à expliciter G ..

Réponses

  • Dire "le" supplémentaire n'a aucun sens. Il y a une infinité de supplémentaires possibles. Précise ta question.
  • Quelle est la dimension de $F$ ? Et quelle est la dimension d'un supplémentaire ?
    Il suffit donc de trouver un vecteur qui n'appartiennent pas à $F$...
  • oui je voudrai trouver un suppélmentaire de F, on n a pas encore attaquer la dimension d'un ev, on est au milieu du cours, en fait, moi je connais la réponse je sais que c l'ensemble (a,a,a) tq a appartient à R., mais je ne peux pas la mettre comme ca sans passer par un raisonnement
  • Non, Souki !

    "c l'ensemble (a,a,a) tq a appartient à R." est non seulement mal écrit (c n'est pas un mot sauf s'il s'écrit c' suivi d'un mot commençant par une voyelle), mais c'est une phrase malsaine puisqu'il existe une infinité de supplémentaires.

    Si tu as juste la définition, il te suffit de montrer que tout vecteur (tout triplet de réel s'écrit comme la somme d'un élément de F et d'un multiple de (1,1,1). Tu auras ainsi démontré que un supplémentaire de F est la droite vectorielle définie par (1,1,1).

    Cordialement.
  • Je récapitule : l'un des supplémentaires de F est l'ensemble {(a,a,a) / a appartient à R}
  • Bonsoir,

    @Souki : une approche possible pour démarrer, tu écris que x+y+z=0 eq. à x= -y-z, ce qui est encore équivalent sous forme matricielle à : (x,y,z)=y(-1,1,0)+z(-1,0,1)...et ensuite?

    Cordialement,
    Clotho
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