extensions
Bonjour,
Soit $L/K$ une extension de corps. Soit $S$ une partie de $L$
J'ai une question au sujet des sous-extensions engendrées par la partie $S$. Après avoir relu plusieurs fois ma définition, j'arrive au constat (et d’ailleurs la notation de mon cours le confirme), qu'on a indépendance avec $L$. Je m'explique, en réalité notre but est de construire une extension de $K$ engendrée par $S$, or à la différence de la notion de sous-groupes... le nouvel ensemble contient le $K$. Ainsi, on est obligé de considérer le $L$, mais par la suite on s'en contrefiche totalement.
Similairement, la notion d’élément algébrique sur $K$, nécessite une extension $L/K$ pour disons qu'on soit sûr que notre évaluation a bien un sens. Mais après on s'en moque.
Est-ce que ma remarque est juste ? Et est-ce que je peux avoir une explication claire, car je me sens dérangé par ce "détail" ?
Soit $L/K$ une extension de corps. Soit $S$ une partie de $L$
J'ai une question au sujet des sous-extensions engendrées par la partie $S$. Après avoir relu plusieurs fois ma définition, j'arrive au constat (et d’ailleurs la notation de mon cours le confirme), qu'on a indépendance avec $L$. Je m'explique, en réalité notre but est de construire une extension de $K$ engendrée par $S$, or à la différence de la notion de sous-groupes... le nouvel ensemble contient le $K$. Ainsi, on est obligé de considérer le $L$, mais par la suite on s'en contrefiche totalement.
Similairement, la notion d’élément algébrique sur $K$, nécessite une extension $L/K$ pour disons qu'on soit sûr que notre évaluation a bien un sens. Mais après on s'en moque.
Est-ce que ma remarque est juste ? Et est-ce que je peux avoir une explication claire, car je me sens dérangé par ce "détail" ?
Réponses
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Peux-tu donner la définition de sous-extension de $L/K$ engendrée par $S$ ? Est-ce que ce n'est pas le plus petit sous-corps de $L$ contenant $K$ et $S$ ? Auquel cas, pourquoi dis-tu qu'on se contrefiche totalement de $L$ ?
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Pour rappel:
Un élément est algébrique sur K s'il est racine d'un polynôme ayant pour coefficients des éléments de K.
En écrivant cela on suppose seulement qu'on s'est donné une clôture algébrique pour K.
Par ailleurs, toutes les extensions d'un corps ne sont pas algébriques.
Je ne comprends pas la phrase "notre évaluation a bien un sens".
En espérant ne pas avoir écrit (trop) d'énormités. -
En écrivant cela on suppose seulement qu'on s'est donné une clôture algébrique pour K.
Non. On suppose simplement qu'on a une extension $L$ de $K$ et un élément $a$ de $L$. Que viendrait faire une clôture algébrique dans l'histoire ?
[Corrigé selon ton indication. AD] -
Pour avoir le même confort d'utilisation que lorsque K est un sous-corps de $\C$.
Et pour pouvoir parler , à priori, de "racines" d'un polynôme sans avoir besoin de construire le corps de rupture (de décomposition?) lié à ce polynôme.et un élément $ a$ de $ K$ a écrit:
Lorsque l'élément considéré appartient à K, on n'a pas besoin, en effet, d'une clôture algébrique de K pour avoir un "référentiel" où faire "vivre" la solution de l'équation X-a=0 B-) -
Bonsoir,
En fait, je n'ai pas les idées très claires c'est pour ça que j'ai du mal à m'expliquer. Concernant la notion d'élement algébrique : (exemple)quand tu prends un élement irrationnel $a$, et un polynome $P$ dans $Q$, et que tu écris : $P(a)=\sum_{i=0..n} b_{i} a^{i}$. On est sur que l'expression à un sens car on effectue les opérations (entre coefficients et puissance de a) dans $R$.
D'une manière générale, il faut avoir au moins une lois de composition externe entre $K$ et l'ensemble où est définit ton élement algébrique. (bon pour la lois de composition externe, je ne suis pas sur que c'est la condition minimale (j'ai pas réfléchis à ça), mais c'est une bonne traduction de ma pensée) -
@FDP : je ne comprends toujours pas ce que tu veux dire. Plus exactement, ce que j'en comprends me semble à côté de la plaque. L'élément $ a$ dont on veut dire s'il est algébrique ou non est déjà là, dans une extension L de K
Ce que je voulais dire est que dès qu'on considère un corps K qui n'est pas $\R$ ou un sous-corps de $\C$
se pose le problème de construire les racines d'un polynôme (irréductible) de K[X].
Pour ne pas avoir à le faire pour chaque polynôme de K[X], c'est confortable de considérer une clôture algébrique (on sait que cela existe) de K.
Cool_men:D'une manière générale, il faut avoir au moins une lois de composition externe entre $ K$ et l'ensemble où est définit ton élement algébrique.
On peut construire une extension L de K dans lequel un polynôme P de K[X] peut se factoriser en polynômes de degré 1 dans L[X].
Dans un sens c'est la plus petite extension de K qui possède cette propriété.
Dans le cas d'un polynôme P irréductible sur K:
Si $\alpha$ est une racine de P dans cette extension L alors $L=K(\alpha)$
et ce corps L est isomorphe à K[X] /(P) (ce qui donne un moyen de le construire)
(P) étant l'idéal maximal engendré par P (polynôme irréductible)
En espérant ne pas avoir écrit (trop) d'énormitésLe passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir. -
FDP, tu donnes l'impression de confondre corps de rupture de $P$ (pour $P$ irréductible dans $K[X]$, "la plus petite" extension de $K$ où $P$ a une racine) et corps de décomposition de $P$ ("la plus petite" extension de $K$ où $P$ se décompose en produit de facteurs du premier degré).
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FDP, tu donnes l'impression de confondre corps de rupture de $ P$ (pour $ P$ irréductible dans $ K[X]$, "la plus petite" extension de $ K$ où $ P$ a une racine) et corps de décomposition de $ P$
Oui, tu as raison je le crains.Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
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