Quelques rappels...
Bonjour à vous tous,
Je refais quelques exercices de bases sur les intégrales impropres, et je ne peux que constater la perte de mon niveau et de mes connaissances datant de deux années. Et c'est assez navrant, mais bon, c'est comme ça.
J'aurais donc 2 questions à vous poser à ce sujet, et une autre plus générale.
1°) Pourquoi l'intégrale $\int_{1}^{+\infty} t^3e^{-t} dt$ est-elle impropre en l'infini?
Je me pose cette question, car mécaniquement et de mémoire, j'écris que la limite de l'intégrande lorsque $t$ tend $+\infty$ est nulle : donc, il n'y a pas de soucis, mais mon raisonnement est faux.
2°) Soit à étudier la définition (au sens de l'existence) de l'intégrale "célèbre", $\Gamma(x)=\int_{0}^{+\infty}e^{-t}t^{x-1}dt$. Pourquoi distinguer le cas où $x\in]0,1[$, de celui où $x\in[1,+\infty[$ pour les besoins de cette étude?
3°) Quelle est selon vous la méthode la plus rapide pour démontrer que $\forall n \in \mathbb{N^*} \quad \forall x \in[0,n] \quad (1-t/n)^n \leq e^{-t}$
Moi, j'applique la formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre 1 à la fonction logarithme entre les points 1-u et u pour arriver à mes fins, et cela marche bien.
Vous avez plus élégant?
Merci pour vos réponses, et bonnes fêtes de fin d'année
Cordialement,
Clotho
Je refais quelques exercices de bases sur les intégrales impropres, et je ne peux que constater la perte de mon niveau et de mes connaissances datant de deux années. Et c'est assez navrant, mais bon, c'est comme ça.
J'aurais donc 2 questions à vous poser à ce sujet, et une autre plus générale.
1°) Pourquoi l'intégrale $\int_{1}^{+\infty} t^3e^{-t} dt$ est-elle impropre en l'infini?
Je me pose cette question, car mécaniquement et de mémoire, j'écris que la limite de l'intégrande lorsque $t$ tend $+\infty$ est nulle : donc, il n'y a pas de soucis, mais mon raisonnement est faux.
2°) Soit à étudier la définition (au sens de l'existence) de l'intégrale "célèbre", $\Gamma(x)=\int_{0}^{+\infty}e^{-t}t^{x-1}dt$. Pourquoi distinguer le cas où $x\in]0,1[$, de celui où $x\in[1,+\infty[$ pour les besoins de cette étude?
3°) Quelle est selon vous la méthode la plus rapide pour démontrer que $\forall n \in \mathbb{N^*} \quad \forall x \in[0,n] \quad (1-t/n)^n \leq e^{-t}$
Moi, j'applique la formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre 1 à la fonction logarithme entre les points 1-u et u pour arriver à mes fins, et cela marche bien.
Vous avez plus élégant?
Merci pour vos réponses, et bonnes fêtes de fin d'année
Cordialement,
Clotho
Réponses
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Bonjour,
La question 1) me semble un simple problème de définition.
Il s'agit d'intégrales de Riemann or, à ce que je sache on le peut parler d'intégrale de Riemann que sur un segment et pour un fonction définie sur celui-ci.
Si le "segment" est étendu à l'infini, ce n'est plus un segment et on "généralise" la notion d'intégrale.
Ceci dit la distinction impropre versus généralisée a souvent été l'objet de débats passionnés qui me dépassent fort.
Cordialment. -
Bonjour,
Il me semblait qu'une intégrale impropre est une intégrale dont la valeur absolue de l'intégrande n'est pas intégrable.
Par exemple, $\int_0^\infty \frac{sin x}{x}dx$. -
Bonjour Clothoide,
1°) Le fait, pour l'intégrande, de tendre vers 0 en l'infini n'assure pas la convergence de l'intégrale (cf. fonction inverse $1/x$), comme pour les séries numériques (cf. série harmonique). C'est ça le propos.
2°) Pour l'intégrale $\Gamma(x)=\int_{0}^{+\infty}e^{-t}t^{x-1}dt$, lorsque $x>0$, la distinction entre les deux cas ne me semble pas nécessaire pour l'existence de l'intégrale.
3°) J'aimais bien la démarche par le développement du binôme à gauche, une majoration évidente suivait.
Cordialement,
Anselme-Olivier. -
Pour moi, une intégrale est impropre dans le cadre de l’intégrale de Riemann, quand une des bornes au moins est infinie ou quand la fonction a un pôle aux bornes ou non. Dans le cadre de l’intégrale de Lebesgue, je parle plutôt d’intégrale semi-convergente, dans le cas où l’intégrale existe sans pour autant que la fonction ne soit absolument intégrable.The real danger is not that computers will begin to think like men, but that men will begin to think like computers.
-- Harris, Sidney J. -
Sans oublier que l'intérêt de toutes ces choses est extrêmement limité.
-
Merci à tous pour vos réponses.
@Anselme-Olivier : pour ma question 2°), je suis d'accord avec toi sur la non-nécessité de distinguer le positionnement de $x$ par rapport à 1 pour l'existence de l'intégrale. Mais dans une correction très détaillée, c'est précisé ainsi, et comme je manque un peu de pratique, je me demandais si c'est moi qui avait tort...
Moi, et sans tout détailler, je rédige de la façon suivante sans faire de distinction sur $x$.
On travaille bien entendu sur des quantités positives à chaque fois, ce qui permet d'utiliser les règles de convergence de Riemann par comparaison avec les intégrales de références. (1) Au voisinage de 0, on a $e^{-t}t^{x-1} \sim \dfrac{1}{t^{1-x}}>0$, et la quantité $\int_{0}^{1} \dfrac{1}{t^{1-x}} dt$ est convergente par définition ssi $1-x<1$, soit encore $x>0$. Et sous cette condition, on aboutit à la conclusion, en utilisant la dite règle. (2), même raisonnement en l'infini sur l'intégrale $\int_{1}^{+\infty} e^{-t} t^{x-1} dt$. Je ne détaille pas, mais on conclut grâce à une domination en $O(\dfrac{1}{t^2})$.
La fonction Gamma étant la somme de 2 intégrales convergentes, elle converge. Mais mon corrigé ne procède pas de cette façon. C'est beaucoup plus détaillé avec notamment cette distinction par rapport à 1 effectué sur $x$. Remarque, il aurait pu choisir une borne quelconque $A \neq 1$, pour conclure de la même façon.
Pour ma question 3°), je veux bien quelques détails supplémentaires sur ta méthode.
Merci
@Dé : on m'avait déjà expliqué sur ce site l'intérêt limité des intégrales impropres, mais ne connaissant par d'autres méthodes d'intégrations pour l'instant (Lebesgue, ou autre). Je me contente de cela. Faut bien commencer quelque part : ) -
En ce qui concerne la fonction Gamma, il montre peut-être sa continuité ; cela se fait par convergence dominée, et là le chapeau intégrable n'est pas le même suivant la position de $x$ par rapport à $1$.
Ou alors il montre uniquement l'existence mais il a la preuve de la continuité en tête, et du coup se complique pour rien :S -
Pour le 3) cela équivaut à $n\ln(1-t/n)\le -t$. En posant $s=-t/n$, cela équivaut à
$\ln(1+s)\le s$. Ceci exprime que le graphe de la fonction $s\mapsto \ln(1+s)$ est situé en-dessous de sa tangente en $s=0$, qui est une conséquence de sa concavité.
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