Conjugaison

paspythagore
paspythagore
dans Algèbre
Bonjour,
je ne me souviens plus comment résoudre cet exercice.
Donner un élément $\sigma\in A_5$ tel que $\sigma(1,2,3)\sigma^{-1}=(3,4,5)$
On cherche un élément de signature positive mais je ne sais plus comment.
Merci de votre aide.

Réponses

  • Guego
    Guego
    Il suffit de chercher $\sigma\in \mathfrak{A}_5$ tel que $\sigma(1) = 3$, $\sigma(2) = 4$ et $\sigma(3) = 5$ (i.e qui envoie le cycle du membre de gauche sur celui du membre de droite).
  • paspythagore
    paspythagore
    Pour trouver $\sigma$ tel que $ \sigma(1) = 3$, $ \sigma(2) = 4$ et $ \sigma(3) = 5$, on est tenté de donner $\sigma=(1,3)(2,4)(3,5)$ qui est de signature impaire et qui donne :
    $ \sigma(1,2,3)\sigma^{-1}(1)=2$,
    $ \sigma(1,2,3)\sigma^{-1}(2)=4$,
    $ \sigma(1,2,3)\sigma^{-1}(3)=1$,
    $ \sigma(1,2,3)\sigma^{-1}(4)=5$,
    $ \sigma(1,2,3)\sigma^{-1}(5)=3$.
    Comment trouver la permutation $\tau$ telle que :
    $\tau(2,4,1,5,3)\tau^{-1}=(3,4,5)$
  • AD
    AD
    Bonjour Paspythagore
    Bien sûr, tu es tenté de prendre $ \sigma=(1,3)(2,4)(3,5) = (1,3,5)(2,4)$
    Le problème est que c'est une permutation impaire, donc pas dans $\frak A_5$
    Ce qui est sûr, c'est qu'il faut la transformation : $1\to 3 \to 5$ et $2\to 4$
    En choisissant de refermer $5\to 1$ et $4 \to 2$, tu obtiens $(1,3,5)(2,4)$ qui ne convient pas parce qu'impaire.
    Il faut donc refermer $5$ sur autre chose ainsi que $4$. Il n'y a pas énormément de choix.
    Alain
  • paspythagore
    paspythagore
    Merci de votre aide.
    J'ai la solution, mais je ne comprends vos méthodes pour la trouver.
    Guego a écrit:
    Il suffit de chercher $ \sigma\in \mathfrak{A}_5$ tel que $ \sigma(1) = 3$, $ \sigma(2) = 4$ et $ \sigma(3) = 5$ (i.e qui envoie le cycle du membre de gauche sur celui du membre de droite).
    Je ne sais pas ce qu'il faut faire.

    AD a écrit:
    Ce qui est sûr, c'est qu'il faut la transformation : $ 1\to 3 \to 5$ et $ 2\to 4$
    En choisissant de refermer $ 5\to 1$ et $ 4 \to 2$, tu obtiens $ (1,3,5)(2,4)$ qui ne convient pas parce qu'impaire.
    Il faut donc refermer $ 5$ sur autre chose ainsi que $ 4$. Il n'y a pas énormément de choix.
    La fermeture, je ne sais pas ce que c'est. Je n'arrive pas à comprendre la méthode pour résoudre cet exercice, pour le résoudre autrement qu'intuitivement.
  • phi27
    phi27
    Quand AD dit qu'il faut "refermer $5$ sur autre chose", ça veut dire qu'il ne faut pas l'envoyer sur $1$. Mais $\sigma$ doit être bijective, donc il faut l'envoyer sur ... (il n'y a qu'un seul choix possible).
    La "fermeture", c'est quand un cycle revient à son "point de départ".
  • AD
    AD
    Bonsoir Paspythagore

    Bon quand on travaille avec les permutations, il faut savoir (lire et apprendre son cours) que toute permutation s'écrit de manière unique sous forme d'un produit de cycles disjoints, à l'ordre près des cycles.
    Cela suppose que les définitions de "cycle", "support", "disjoint" ont été lues dans le cours et assimilées.
    Paspythagore a écrit:
    La fermeture, je ne sais pas ce que c'est.
    Fermeture ne te plait pas, mais tu peux quand même réfléchir un peu !
    Un cycle c'est une suite rebouclée sur elle même. Ici tu as la suite $1\to 3\to 5$ et tu veux en faire un cycle : soit tu reboucles sur 1 soit tu reboucles sur autre chose que $1,3,5$.
    C'est ça que je voulais te dire par "refermer" !
    Maintenant si tu attends une solution toute faite et bien ficelée, tu t'es trompé d'endroit.
    Voir http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?2,346997,346997#msg-346997
    Alain
  • paspythagore
    paspythagore
    Bonsoir.

    Effectivement, il y a pas de notions que je ne sais pas et que je n'ai pas assimilés.
    Mais $ \sigma$ doit être bijective.
    Fermeture ne te plait pas, mais tu peux quand même réfléchir un peu !
    Un cycle c'est une suite rebouclée sur elle même.
    Fermeture ne me déplait pas, j'essaie de comprendre. Le fait qu'un cycle soit une suite rebouclée sur elle même n'est pas évident pour moi même si avec $(1,2,3)$, $2$ prend la place de $1$, $3$ prend la place de $2$, $1$ prend la place de $3$ (reboucle, ferme).
    $ (1,3,5)(2,4)$ est à support distincts mais ne convient pas (le résultat n'est pas le bon et on cherche une signature positive).
    AD a écrit:
    Bon quand on travaille avec les permutations, il faut savoir (lire et apprendre son cours) que toute permutation s'écrit de manière unique sous forme d'un produit de cycles disjoints, à l'ordre près des cycles.
    Cela suppose que les définitions de "cycle", "support", "disjoint" ont été lues dans le cours et assimilées.
    Lues et apprises, oui, assimilées, non.

    $(1,3)(2,4)(3,5)$ : les supports ne sont pas disjoints.
    $(1,3,5)(2,4)$ : ils le sont.
    Maintenant si tu attends une solution toute faite et bien ficelée, tu t'es trompé d'endroit.
    Voir [www.les-mathematiques.net]
    Je n'attends pas une solution toute faite. Il s'agit d'exercices corrigés. Il n'y a rien sur la charte d'utilisation du Forum qui interdit aux étudiants les plus faibles de poser leurs questions même si elles trahissent le très faible niveau de celui qui les pose.
    Pour finir sur ma "justification" d'utilisation du Forum. Je suis salarié, j'utilise tout le temps que je peux pour bosser les maths, étudiant à distance, donc seul avec mes "poly", il y a effectivement énormément de choses que je ne comprends pas. J'ai sûrement fait une erreur en essayant de passer une licence de maths mais j'avais envie d'essayer quand même. Malgré l'aide que vous m'apportez tous sur ce Forum, voilà pourquoi je ne sens toujours pas les choses, pourquoi je n'ai pas compris vos explications.
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