Morphisme et groupe abélien

paspythagore
paspythagore
dans Algèbre
Bonjour je continue sur le même sujet. Je persévère.
Soit $G$, un groupe. Montrer que si l'application de $G$ dans $G$ définie par $x\rightarrow x^{-1}$ est un homomorphisme, alors $G$ est abélien.
La correction donne : $$(ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}=(ba)^{-1}$$ d'où $ab=ba$

Je ne comprends pas pourquoi $a^{-1}b^{-1}=(ba)^{-1}$

Réponses

  • alban01
    alban01
    Salut, utilise le fait que ton f est un morphisme
  • LiSsOu
    LiSsOu
    Si je ne me trompe pas, c'est la définition de l'inverse d'un produit dans le cas non commutatif.
    Comme pour le produit des matrices.
    Tandis que (ab)^-1= (a^-1)*(b^-1) tu l’obtiens grâce a ton morphisme
  • alban01
    alban01
    Pardon, j'avais mal lu ; je croyais que tu voulais savoir d'où sortait la première égalité. Je réécris car mon indication induit en erreur. Dans la suite d'égalités :
    $$(ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}=(ba)^{-1}$$

    La première égalité est obtenue grâce au fait que $f$ est un morphisme ; la seconde doit être dans ton cours. Si tu ne l'as pas, tu peux la redémontrer en te demandant qui est l'inverse de $ba$. Vu l'unicité de l'inverse d'un élément dans un groupe et le fait que $(a^{-1} b^{-1})(ba)$, tu as l'inverse.
  • paspythagore
    paspythagore
    Bonsoir.
    Alban0 a écrit:
    tu peux la redémontrer en te demandant qui est l'inverse de $ ba$. Vu l'unicité de l'inverse d'un élément dans un groupe et le fait que $ (a^{-1} b^{-1})(ba)$, tu as l'inverse.
    $ (a^{-1} b^{-1})(ba)= a^{-1} e a=e$

    Donc $ (a^{-1} b^{-1})$ est l'inverse de $(ba)$ et $ (a^{-1} b^{-1})=(ba)^{-1}$ ?
  • Eric Chopin
    Eric Chopin
    Tout a fait.

    Eric
  • Domi
    Domi
    Certains se souviennent peut-être de ce fil avec Oumpapah un autre grand disparu du forum dont le départ c'est fait sans bruit ni roman de gare et pourtant (tu) .

    Nostalgie quand tu nous tient !

    Domi
  • paspythagore
    paspythagore
    Merci.
  • C. de Pluquaire
    C. de Pluquaire
    Bonjour,

    @ Domi: qu'est devenue la théorie des zinzins ?

    Bien cordialement.
  • Domi
    Domi
    Bonsoir,

    @ C. de Pluquaire

    Pas grand chose je le crains . J'avais continué à chercher un peu à mes temps perdus mais sans aboutir . Parallèlement j'avais suivi d'autres développements du même problème sur un autre site , il faudra que je retrouve ça .

    Cordialement

    Domi

    PS : j'ai retrouvé le lien Groupes commutatifs , ffpower était aller très loin mais je n'avais pas eu le courage de tout vérifier :S

    PPS : Imod = Domi
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