groupes cycliques et p-Sylow

paspythagore écrivait:

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> Si $ G$ un groupe, et si $ H, K$ sont des sous-groupes de $ G$, on pose $\displaystyle HK=\{ hk \mid h\in H,k\in K\}.$ Ce n'est pas un groupe en général.
>
> Que représente $HK$ lorsqu'il n'est pas un groupe ?

C'est une partie de $G$, un sous-ensemble (mais pas nécessairement sous-groupe) de $G$.

> Quels sont les éléments de $HK$ ?

C'est dans la définition, c'est l'ensemble de tous les produits (dans $G$) d'un élément de $H$ (à gauche) par un élément de $K$ (à droite).

> Quelles propriétés d'un groupe ne sont pas vérifiées ?

La composition interne : le produit de 2 éléments de $HK$ n'est pas nécessairement dans $HK$ :
$(h_1k_1)(h_2k_2) = h_1(k_1h_2)k_2$
Si on pouvait écrire $(k_1h_2)$ sous la forme $(h_3k_3)$, alors ce serait gagné. Mais en général on ne peut pas.
Dans le cas où, par exemple, $H$ est distingué dans $G$, alors on peut écrire :
$k_1h_2=(k_1h_2).(k_1^{-1}k_1) = (k_1h_2k_1^{-1}).k_1$ et puisque $H\lhd G$, la parenthèse est dans $H$, et on trouve bien : un élément de $H : (k_1h_2k_1^{-1})$ suivi d'un élément de $K : k_1$, c'est donc bien dans $HK$.

> Il me faudrait des exemples avec des permutations.

Prends $\frak S_3$ qui a 6 éléments. Choisis $H=\{id,(12)\},\ K=\{id,(23)\}$. Ce sont deux sous-groupes d'ordre 2 de $\frak S_3$.
Comme $H=H.id$ et $id\in K$, on a $H\subset HK$ et idem pour $K$
On en déduit $HK=\{id,\ (12),\ (23),\ (12)(23)=(123)\}$
et le composé des 2 éléments de $HK : (23).(123)=(13) \not\in HK$

Alain

Le groupe $S_3$ est le très connu groupe des permutations de 3 objets (cité aussi par AD) Il n'est pas cyclique, parcequ'il n'est pas commutatif!

Revenons au problème... Un groupe d'ordre $n$ est cyclique si et seulement si pour chaque diviseur $d$ de $n$ il existe un et un seul sous-groupe d'ordre $d$.

Si $p < q$, il existe $n_q$ sous-groupes d'ordre $q$, $n_q$ divise $pq$ et est congru à 1 modulo $q$. La seule possibilité est $n_q=1.$
Il y a aussi $n_p$ sous-groupes d'ordre $p$, $n_p$ divise $pq$ et est congru à 1 modulo $p$. Donc $n_p$ vaut 1 ou $q$, et dans ce cas $p$ divise $q-1$. Donc si $p$ ne divise pas $q-1$, c'est forcément $n_p=1$, et le groupe est cyclique!

Dans le cas ou $p$ divise $q-1$, il existe un groupe non commutatif d'ordre $pq$, qui n'est certainement pas cyclique. AD t'en a donné une construction classique à base de produits semi-directs... qui te parait difficile! J'en connais une un peu plus artisanale, mais j'ai besoin de la mettre au point... si tu insistes, car la question n'est pas posée dans ton énoncé!

Bonjour Papythagore
As-tu lu le lien que je t'ai mis en référence ? http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,685608,686802#msg-686802
Alain

Le lien de AD dit tout... mais je veux bien essayer de détailler les débuts !
Donc, on démarre avec deux groupes $H$ et $K$ et un morphisme $\varphi$ de $H$ dans $Aut(K)$.
Ça veut dire que pour tout $h\in H$ on s'est donné un automorphisme de $K$ que je note $\varphi_h$. Donc $\varphi_h$ est une bijection de $K$ dans $K$ qui vérifie $\varphi_h(kk')=\varphi_h(k)\varphi_h(k')$ pour tout couple $(k,k')\in K^2.$
De plus, $\varphi$ étant un morphisme on a $\varphi_{hh'}=\varphi_h\circ \varphi_{h'}$ pour tout couple $(h,h')\in H^2.$

Sur l'ensemble, $H\times K$ on définit une loi de composition $\star$ en posant
$$(h,k)\star(h',k')=(hh',\varphi_{h'}(k)k')$$
Reste à vérifier que cette loi est une loi de groupe !

[La case LaTeX. AD]