Matrices positives

chris93 · December 2011

Bonsoir à tous,

j'aimerais avoir des éclaircissements sur la définition des matrices (définies) positives.
Plaçons-nous dans $E$, un $\mathbb{C}$-espace vectoriel de dimension finie muni d'un produit hermitien $<.,.>$.

J'ai rencontré deux définitions :
1) (Bathia-"Positive definite matrices)
$A\in M_n(\mathbb{C})$ est positive (resp. définie positive) si $\forall x\in E$, $<Ax,x>\geq 0$ (resp $>0$)
2) L'autre définition suppose de plus que $A$ soit hermitienne. (C'est la définition que j'ai trouvée dans les quelques ouvrages francophones que j'ai ouverts)

Je me demandais si la propriété "$\forall x\in E$, $<Ax,x>\geq 0$" impliquait que $A$ soit hermitienne.

Merci.

Edit : Je viens de regarder dans "Matrix Analysis"-Horn/Johnson, la définition suppose $A$ hermitienne. Ce qui paraît étonnant dans le Bathia, c'est qu'après avoir donné la définition 1), il énonce : $A$ est positive si et seulement si $A$ est hermitienne et toutes ses valeurs propres sont positives.

Edit2: D'après un exercice du Horn/Johnson, on peut apparemment montrer que si $A\in M_n(\mathbb{C})$ telle que $\forall x\in E$, $<Ax,x>\in \mathbb{R}$, alors $A$ est hermitienne.

gottfried0 · December 2011

si $\langle Ax,x\rangle \in\mathbb R$ pour tout $x$, alors la partie anti-hermitienne $B = (A - A^*)/2$ de $A$ vérifie aussi $\langle Bx,x\rangle \in\mathbb R$ pour tout $x$. Mais $\langle Bx,x\rangle = -\langle x,Bx\rangle$ est imaginaire pur, donc en fait nul pour tout $x$. On regarde ce que cela donne pour $x+z$ et on obtient $\langle Bx,z\rangle + \langle x,Bz\rangle = 0$ pour tous $x$ et $z$. On remplace $z$ par $iz$, et cela donne $\langle Bx,z\rangle =0$ pour tous $x$ et $z$. Donc $B=0$ et $A$ est hermitienne.

chris93 · December 2011

Merci gottfried. J'ai trouvé une autre solution qui utilisait l'indication du livre. J'ai écrit $A=B+iC$ où $B,C$ sont des matrices hermitiennes et j'ai montré que $C$ était nulle (ce qui revient un peu à ta solution puisque $C=(\frac{-i}{2})(A-A^*)$ )

gottfried0 · December 2011

@chris93: bonjour et je demande l'indulgence pour la coquille dans mon texte il fallait lire $\langle Bx,z\rangle + \langle Bz,x\rangle = 0$ (la fin de la preuve repose sur le comportement différent des deux termes si on remplace $z$ par $iz$) ... milles excuses et bonne journée

chris93 · December 2011

(tu) Je ne vais pas me plaindre alors que tu m'as donné une correction différente de celle que j'avais trouvée..

chris93 · December 2011

Je continue sur les matrices définies positives.

Je bute sur un exercice : Soit $A$ une matrice complexe définie positive. On suppose qu'il existe $B,C\in M_n(\mathbb{C})$ telles que $A=B^*B=C^*C$. Montrer qu'il existe une matrice unitaire $U$ telle que $B=UC$.
Le fait d'introduire une matrice unitaire vient certainement du fait q'une matrice hermitienne se diagonalise unitairement mais je n'arrive pas au résultat.
Si quelqu'un a une indication à me donner...

Merci

Edit : je précise qu'il y a une indication : $(CA^{-\frac{1}{2}})^*.(CA^{-\frac{1}{2}})=I_n$

Edit : :? Pourtant avec l'indication, c'était évident..désolé du dérangement !

gb · December 2011

Bonjour,

Si $A=B^*B=C^*C$, on pose tout simplement~: $U=BC^{-1}$, et on vérifie que $U$ est unitaire.

gottfried0 · December 2011

si ça marche pour un $B$ donné et tous les $C$ alors comme les matrices unitaires forment un groupe ça marche pour tous les couples. Ton indication te suggère de prendre $B = A^{+1/2}$.

[Edit: corrigé selon tes indications. Eric]

chris93 · December 2011

Oui, gb, je m'en suis rendu compte quelques secondes après avoir cliqué...merci quand même.

C. de Pluquaire · December 2011

Bonne nuit,

Je voudrais signaler qu'il y a là une différence notable avec la cas d'un espace euclidien (réel, donc):
$\forall x\inE:(Ax|x)\geq 0$ n'implique nullement que A soit symétrique (prendre la matrice 2 x 2: L₁ = 0 1 et L₂ = -1 0).

Bien cordialement. $\C^2\oplus\ker$

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