triangles
Soit un grand triangle ABC et un petit triangle A'B'C' tout entier dans le grand triangle. Construire un triangle tel que chacun de ses sommets soit sur un côté du triangle ABC et que chacun de ses côtés passe par un sommet du triangle A'B'C'.
Réponses
-
Commencons deja par la....
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?2,346997,346997#msg-346997
Pour l'existence, je ne dirais que 3 mots: TVI.
Pour la construction, là je laisse la place à nos experts... ;-)
Eric -
Mon cher Philippe
Content d'avoir de tes nouvelles.
Merci pour ton nouveau problème si intéressant.
Te rends tu compte que tu nous infliges une jolie question de géométrie projective plane, laquelle a été bannie de notre culture pour l'éternité?
La méthode standard dans ce genre de problème est celle de la fausse position.
On part d'un point quelconque sur le côté $BC$ et on essaye de reconstruire ton triangle en espérant que le point qu'on a choisi au départ était le bon.
Bien sûr, il y a peu de chance que ce soit le cas et après avoir fait une petite promenade autour des sommets du triangle $A'B'C'$, on va retomber sur un point $M' \in BC$ qui n'a aucune raison d'être le point $M$.
Que faire alors?
Eh bien en faisant ceci, on a défini une application $f: BC \longmapsto BC; M \mapsto M'$ qui est une homographie.
Et tout ce qu'on a à faire est de rechercher et de construire les points fixes de cette homographie définie sur une droite réelle.
On sait qu'on peut avoir 0, 1, 2 ou une infinité de solutions!
Pour rendre ton problème plus intéressant, je le modifierai ainsi:
Quelle doit être la disposition relative des triangles $ABC$ et $A'B'C'$ pour qu'il y ait une infinité de solutions?
J'explique maintenant comment j'ai fait la figure.
J'ai tracé d'abord les triangles $ABC$ et $abc$ puis j'ai choisi arbitrairement les points $A'$, $B'$, $C'$ respectivement sur les droites $bc$, $ca$, $ab$. Enfin j'ai choisi le point $M$ puis j'ai construit $M'$.
Le point $a$ est donc un des deux points fixes de l'homographie $M \mapsto M'$. Où se trouve le second point fixe $a'$ qui va secréter l'autre triangle solution $a'b'c'$?
Amicalement
Pappus
PS
Etant un problème de géométrie projective, on se contrefout de savoir si les points $A'$, $B'$, $C'$ sont oui ou non à l'intérieur du triangle $ABC$ puisque cette notion d'intérieur n'a pas de sens dans le plan projectif! -
Trop fort Pappus.
D'après ta solution c'est généralisable à tout couple de polygones? -
Oui, mon cher Philippe, car que tu composes 3 homographies ou que tu en composes $n$, tu tomberas toujours à la fin sur une homographie.
L'inconvénient de cette solution, c'est qu'elle reste dans les généralités.
Par contre beaucoup plus intéressant est de rechercher les configurations pour lesquelles il y a une infinité de solutions, c'est à dire celles pour lesquelles l'homographie $f:BC \longmapsto BC; M \mapsto M'$ se réduit à l'application identique, $f =id$.
On peut même chercher les configurations pour lesquelles $f$ est d'ordre $n$; $n = 2$ me semble déjà assez compliqué pour commencer!
Amicalement
Pappus -
Mon cher Philippe
Voici aussi une autre question intéressante.
Je reprends ma figure précédente telle que je l'ai tracée.
J'ai d'abord dessiné le triangle $ABC$ puis le triangle inscrit $abc$.
Maintenant comment choisir le triangle $A'B'C'$ inscrit dans $abc$ pour que le point $a$ soit le point fixe unique de l'homographie $f:BC \longmapsto BC; M \mapsto M'$. Je crois qu'on dit dans ce cas que l'homographie $f$ est parabolique.
Ainsi dans ce cas le triangle $abc$ serait l'unique solution de ton problème!
Amicalement
Pappus
PS
Il va sans dire que si on posait ce simple exercice à l'écrit de l'Agrégation, ce serait une catastrophe nationale mais heureusement nos braves anneaux de polynômes sont là pour nous sauver la mise et vogue la galère! -
Je vous donne sans démonstration (à vous de la trouver) la configuration où il y a une infinité de solutions.
Le triangle $A'B'C'$ doit être circonscrit au triangle $ABC$, i.e: $A \in B'C'$, $B \in C'A'$, $C \in A'B'$
Il va sans dire que cette configuration est l'une des plus célèbres de la géométrie projective et comme il n'y en a pas trente-six, il vous sera facile de trouver son nom.
J'aimerais bien qu'un utilisateur de GeoGebra nous fasse une applet pour prouver aux incrédules qu'on peut bien animer les triangles $abc$, les points $A$, $B$, $C$, $A'$, $B'$, $C'$ restant fixes.
Amicalement
Pappus
PS
Maintenant, il faut chercher les configurations pour lesquelles $f^2 = id$ avec $f\ne id$, autrement dit $f$ est une involution -
Pardon, je me suis trompé ! :-) Si quelqu'un veut bien effacer le poste précédent... Désolé pour le bruit.
On reprend :
Pour le cas « infinité de solution » : on peut intuiter qu'il y a une infinité de solution si $A'=B'=C'$ (et alors le triangle $(abc)$ est aplati).
Notons $p_{A'}$ la projection de $(AB)$ sur $(AC)$ par rapport $A'$ et de même $p_{C'}$ de $(AC)$ sur $(BC)$ et $p_{B'}$ de $(BC)$ sur $(AB)$. On veut que le produit fasse l'identité : $p_{B'}p_{C'} p_{A'} = Id$
Ainsi, on veut que $p_{C'} p_{A'} = p^{-1}_{B'}$. Mais si le produit de deux projections est une projection alors les trois centres sont alignés. Donc $A'$, $B'$ et $C'$ sont alignés. (C'est là que c'est faux !)
Or l'image de $A$ par $p_{C'} p_{A'}$ est $(AC') \cap (BC)$ tandis que l'image de $A$ par $p_{B'}^{-1}$ est $(BC) \cap (AB')$. Cela prouve que $A$, $B'$ et $C'$ sont alignés.
Maintenant la démonstration tient par permutation circulaire : on veut aussi que $p_{C'} p_{A'} p_{B'} = Id$ et cela mène à $B$, $C'$ et $A'$ alignés. De même $C$, $B'$ et $A'$ sont alignés.
Il faut maintenant étudier les différents cas selon que les points $A'$, $B'$ et $C'$ sont supposés distincts ou confondus. S'ils sont distincts, c'est la solution de pappus ci-dessus.
Si deux au moins sont confondus, il n'est pas difficile de se convaincre que les trois sont confondus : c'est le cas « intuitif » dont je parlais.
Voilà, ouf ! -
Pas de probleme Paul, j'ai caché le message selon tes indications.
Eric -
Sinon c'est une joli figure bien pappusienne, pappus
-
pappus, aurais-tu une réponse constructiviste du problème posé initialement ?
-
Mon cher Paul
Bien sûr.
La construction des points fixes d'une homographie $f$ d'une droite, donnée par trois paires de points homologues $(M_1, M'_1 = f(M_1))$, $(M_2, M'_2 = f(M_2))$, $(M_3, M'_3 = f(M_3))$ est fort connue ou plutôt était fort connue puisque la géométrie projective a définitivement disparu de nos programmes.
Cette construction exigeait l'emploi d'une structure euclidienne auxiliaire, ce qui ne gênait guère nos aïeux qui travaillaient dans un plan euclidien et sa complétion projective.
Je suis un peu embêté pour te donner une référence récente.
Faudra-t-il donc que je m'y colle encore?
Quelqu'un aurait-il une idée?
Sans doute le livre de Bruno, j'espère que oui!
Amicalement
Pappus
PS
Effectivement, c'est la configuration de Pappus -
Désolé Pappus, je n'ai rien écrit de tel dans "Les coniques".
Bruno -
Bonsoir,
Je crois me souvenir que ce problème a été traité dans un des multiples fils consacrés à l'homographie, mais je ne le retrouve pas. On doit commencer par construire $I$ et $J$, ce qui se fait ici sans difficulté, puis on construit les points fixes ? -
Bonjour,
Cette construction est décrite dans G.Papellier Exercices de Géométrie Moderne VII n° 128 "Divisions Homographiques de même base" :
Construire les points limites I et J. Ceux-ci ont même milieu O que les points doubles P et Q. Si O' est le transformé de O, la relation OP^2= OO'*OJ permet de construire P et Q.
Amicalement
Louis Le Goff -
Bonjour,
Ceci est un vieux problème.
1) pour la construction des points fixes d'une homographie sur une droite, on choisit un cercle (une conique, mais si on veut construire à la règle et au compas, autant que ce soit un cercle !) quelconque et un point S sur ce cercle.
La projection de centre S projette l'homographie de la droite en une homographie sur le cercle, dont les points fixes sont les intersections de l'axe de l'homographie avec le cercle. Point fixe que l'on reprojette alors sur la droite.
Ce qui donne sur notre problème (autres noms de points mais j'ai eu la flemme de tout renommer. Les triangles donnés sont TUV et PQR) -
Ces constructions n'ont qu'un intérêt théorique et ne satisferont que les sectateurs de la règle et du compas!
Dans le problème qui nous occupe, elle ne nous disent rien sur la configuration des 6 points $A$, $B$, $C$, $A'$, $B'$, $C'$ pour qu'il y ait $0$, $1$, $2$ ou $\infty$ solutions.
Je ne suis pas très convaincu par la démonstration de Paul que je n'ai pas très bien comprise.
La mienne est de nature calculatoire et se fait en coordonnées.
Elle donne aussi la condition nécessaire et suffisante pour que $f$ soit involutive.
Il faut aussi trouver la configuration des trois triangles $ABC$, $A'B'C'$, $abc$ dans le cas où on a une unique solution, i.e; $f$ est parabolique.
Amicalement
Pappus
PS
Sur cette figure, j'ai supposé que le triangle $A'B'C'$ était inscrit dans le triangle $ABC$, i.e: $A' \in BC$, $B'\in CA$, $C' \in AB$.
Contemplez la figure et faites une démonstration.
Une animation par un utilisateur de GeoGebra serait la bienvenue. -
Voici enfin la même figure où j'ai supposé cette fois-ci que les points $A'$, $B'$, $C'$ étaient alignés sur une transversale du triangle $ABC$.
Où sont les deux triangles solutions du problème de Philippe?
Amicalement
Pappus -
Pappus, tu éviteras de me traiter de sectaire, s'il te plait. La question posée commençait par « Construire un point $M$... ». J'en demandais donc une réponse exacte. Si une question ne t'intéresse pas, ignore là, mais s'il te plait, évite les commentaires méprisants.
Par ailleurs, je ne vois pas de laquelle de tes démonstrations ou duquel de tes calculs tu parles, car tu n'en as donné aucune sur cette page. -
Excuse moi, mon cher Paul, je n'avais pas l'intention de t'offenser.
Il me semblait même avoir répondu à ta question en signalant l'existence de cette très célèbre construction.
Nous ne faisons ici que de la géométrie et surtout pas de politique ni de religion!
J'ai même qualifié souvent ici de sectateurs ceux qui étaient un peu trop obsédés par la géométrie du triangle et c'était un peu un reproche affectueux que je me faisais à moi-même.
Je crois que la théorie des constructions à la règle et au compas a eu son heure de gloire et que celle-ci est passée depuis longtemps. Nous vivons aujourd'hui à l'heure des logiciels de géométrie dynamique et il serait temps de découvrir toutes les les belles constructions nouvelles qu'ils nous permettent notamment par l'emploi des intersections de coniques.
Voici ci-joint un petit article d'Arnaudiès pour nous faire réfléchir sur ce sujet.
-
Voici ma propre construction des points fixes d'une homographie définie sur une droite à la règle et au compas quoique je n'ai utilisé aucun de ces merveilleux instruments me contentant simplement d'employer les fonctionnalités de Cabri.
Les données de départ sont la droite $L$ avec dessus les trois paires de points homologues $(A, A')$, $(B, B')$, $(C, C')$ définissant l'homographie.
Comme cercle $\Gamma$ sur lequel on va transporter l'homographie de $L$ au moyen d'une projection centrale, j'ai choisi le cercle de diamètre $AA'$.
Comme centre de la projection, j'ai choisi pour point $O$ un des deux points de l'intersection de $\Gamma$ avec la médiatrice de $AA'$.
A vrai dire, j'aurai pu prendre pour point $O$ un point quelconque de $\Gamma$ autre que $A$ et $A'$ mais avec ce choix la correspondance entre $L$ et $\Gamma$ est induite par l'inversion par rapport au cercle $\gamma$ de centre $O$ passant par $A$ et $A'$, tracé en bleu pointillé, me permettant ainsi de profiter de l'outil inversion de Cabri.
Dans cette correspondance, la paire $(A, A')$ s'envoie sur elle même, la paire $(B, B')$ s'envoie sur $(b, b')$ et la paire $(C, C')$ s'envoie sur $(c, c')$.
L'axe de l'homographie définie sur le cercle $\Gamma$ par les trois paires $(A, A')$, $(b, b')$, $(c, c')$ est la droite $\beta\gamma$ où $\beta = Ac'\cap A'c$ et $\gamma = Ab' \cap A'b$
La droite $\beta\gamma$ coupe le cercle $\Gamma$ aux points $u$ et $v$ qu'il me suffit de remonter enfin sur la droite $L$ pour obtenir les points fixes $U$ et $V$.Par acquit de conscience, j'ai ensuite tenu à vérifier avec Cabri qu'on avait bien l'égalité entre birapports: $(U, V, A', A) = (U, V, B',
= (U, V, C', C) = k$, ce réel $k$ étant appelé multiplicateur de l'homographie associée à la paire ordonnée $(U, V)$.
Maintenant j'ai créé une macro PointsFixesHomographie avec pour objets initiaux la droite $L$ et les trois paires $(A, A')$, $(B, B')$, $(C, C')$ et pour objet final la paire de points fixes $(U, V)$.
Et je verse une petite larme au passage sur mon compas et ma règle égarés depuis belle lurette.
Amicalement
Pappus
PS
Je compte bien me servir de cette macro dans le problème de Philippe -
Bonjour Pappus,
J'ai aussi un peu pris pour moi cette accusation de "sectaire" ayant explicitement cité "la règle et le compas"
Mais pas offensé pour autant ;-)
C'est vrai qu'avec un logiciel de géométrie on peut traiter les points "conique-constructible". Mais même avant la généralisation de ces logiciels on en parlait déja dans par exemple "La règle et le compas" de JC Carrega
Et pour remonter plus loin encore la duplication du cube par tracé de paraboles (Menechme 4ème siècle avant JC) ...
Par contre tu exagères un peu en suggérant que hors du calcul rien ne va plus.
C'est vrai que l'enseignement de la géométrie "déductive" "à la Euclide" est largement passé de mode et que la géométrie est devenue quasi exclusivement (d'où la suppression progressive d'un enseignement de la géométrie "traditionnelle") une affaire d'axiomatique, d'espaces vectoriels, d'algèbres lineaires et autres formes quadratiques. La puisance qui résulte de ces notions n'est plus à prouver. Mais une géométrie déductive n'est pas pour autant à mettre à la poubelle.
D'autant plus que les méthodes calculatoires deviennent tellement compliquées : équations d'une demi-page (pour une seule équation, si, si, déja vu) en coordonnées barycentriques etc. que seul un logiciel de calcul symbolique permet de s'en sortir sans erreurs de calcul.
Mais pour en revenir au problème actuel je ne trouve rien de spécialement à redire pratiquement (et pas seulement théoriquement) à ma méthode avec la conique lieu de P (ma 2ème figure)
Ceci donne la CNS en fonction des 6 points donnés pour avoir 0, 1 ou 2 solutions :
Selon que la conique (AEB'C'D) lieu de P coupe la droite BC en 0, 1 ou 2 points (réels)
Quant au cas du nombre infini de solutions, la CNS est bien entendu alors que la droite BC est contenue dans cette conique. Ceci implique que cette conique est forcément dégénérée c'est à dire que 3 des points AEB'C'D de ma figure sont alignés.
,
Amicalement. -
J'avoue que j'ai été saisi par le terme, surtout parce que personnellement je ne comprends rien aux calculs !
Je veux dire par là, d'accord, on peut faire plein de calculs en coordonnées barycentriques, mais si on est pas guidé par une intuition globale des relations entre les objets, ça devient vite impraticable. Dire que les calculs c'est des vrais maths, et « la règle et le compas » c'est juste un jeu de l'esprit, c'est aussi limité que d'affirmer l'inverse...
La règle et le compas, pour moi, c'est surtout un moyen de conserver les liens. Dans un calcul, tout est pareil, chaque symbole a le même statut que les autres. On est toujours tenté de tout développer, alors que garder ici tel facteur, là telle symétrie, etc. rend le calcul plus praticable, lui « donne du sens », si vous voyez ce que je veux dire. Au fond, on continue à faire de la géométrie synthétique, mais sous une autre forme, et avec la certitude que ça doit marcher.
Sauf qu'à la fin, quand il faut revenir du calcul à la figure, on est souvent encore bien embêté !
Merci pour vos belles figures. J'oublie toujours que la géométrie projective c'est aussi l'art de ramener l'infini (ici une droite) au fini (ici un cercle). C'est très commode en fait ! -
Mon cher chephip
J'ai déjà prouvé amplement que j'aimais la géométrie synthétique et comme toi je regrette sa disparition progressive de nos programmes.
Ce que je redoute surtout, c'est la disparition quasi totale de toute la géométrie et son remplacement pur et simple par l'algèbre linéaire! On en prend le chemin!
Quant aux constructions que tu évoques, elles ne peuvent à elles seules donner une solution satisfaisante au problème de Philippe. On ne peut que constater sur la figure si elles donnent un résultat ou non, rien de plus mais aussi rien de moins.
Seul le calcul analytique c'est à dire ici l'algèbre permet de résoudre ce problème, fut-ce aux prix de calculs rédhibitoires.
Amicalement
Pappus -
Bien d'accord sur tout, mais tout de même on demande une construction (effective)
Une petite applet Geogebra illustrant la construction effective (par Geogebra) du problème initial étant donnés ABC et TUV construire MNP dont les sommets sont sur les cotés de ABC et dont les cotés passent par les sommets de TUV.
En profitant "lachement" des possibilités de Geogebra pour tracer l'intersection d'une droite avec une conique définie par 5 points, la construction est très simple ici !
<applet name="ggbApplet" code="geogebra.GeoGebraApplet" archive="geogebra.jar"
codebase="http://www.geogebra.org/webstart/4.0/unsigned/"
width="600" height="400">
<param name="ggbBase64" value="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" />
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<param name="cache_version" value="4.0.13.0, 4.0.13.0, 4.0.13.0, 4.0.13.0, 4.0.13.0, 4.0.13.0, 4.0.13.0, 4.0.13.0, 4.0.13.0, 4.0.13.0, 4.0.13.0" />
<param name="framePossible" value="false" />
<param name="showResetIcon" value="true" />
<param name="showAnimationButton" value="true" />
<param name="enableRightClick" value="false" />
<param name="errorDialogsActive" value="true" />
<param name="enableLabelDrags" value="true" />
<param name="showMenuBar" value="false" />
<param name="showToolBar" value="false" />
<param name="showToolBarHelp" value="false" />
<param name="showAlgebraInput" value="false" />
<param name="useBrowserForJS" value="true" />
<param name="allowRescaling" value="false" />
C'est une appliquette Java créée avec GeoGebra
</applet>
ABCTUV déplaçables librement
Amicalement. -
S'il ne fallait traiter que les problèmes susceptibles d'être résolus à la règle et au compas, la géométrie serait bien triste.
J'aime bien dans un problème disposer du maximum de solutions, qu'elles soient synthétiques ou calculatoires, ne serait-ce que pour les comparer.
Encore une fois, je privilégie les méthodes aux figures et si elles sont belles à contempler tant mieux.
Les constructions sont importantes et je parle en connaissance de cause mais la géométrie ne peut s'y réduire surtout quand on travaille en dimension quelconque.
Dans le cas du problème de Philippe, elles sont d'une aide considérable dans le tracé des différentes figures mais elles ne peuvent remplacer une démonstration en bonne et due forme.
C'est parce qu'on a démontré auparavant que les sommets des triangles solutions sont des points fixes d'une homographie qu'on sait pouvoir les construire à la règle et au compas et non l'inverse.
Si on se donne les 5 points $A$, $B$, $C$, $A'$, $B'$, seul le calcul pourrait nous dire où doit se trouver le point $C'$ pour qu'il y ait $0$, $1$, $2$, $\infty$ solutions.
Comme ces calculs sont compliqués, on ne peut donc rester que dans des généralités oiseuses si on ne les fait pas.
Par contre les cas particuliers que j'ai évoqués sont beaucoup plus simples à traiter et j'attends toujours des réponses aux diverses questions que j'ai posées.
Amicalement
Pappus -
Je ne vois pas en quoi il serait lâche d'utiliser les fonctionnalités de son logiciel.
Cabri et je suppose GeoGebra aussi permettent de diviser un angle en trois ou en sept sans autres maux de tête galoisiens!
Tant mieux!
Et tant pis pour ceux qui ne veulent utiliser que la règle et le compas!
En déplaçant le point $T$ par exemple, on voit les deux solutions s'éloigner, se rapprocher, se confondre ou disparaître, ce qui est assez jouissif mais cela ne dit rien sur le comment et le pourquoi de ces coïncidences, apparitions ou disparitions.
Cela ne laisse pas présager du cas particulier où il y a une infinité de solutions.
Bref le calcul reste indispensable!
Amicalement
Pappus -
Mon cher chephip
Pourrais-tu animer les dernières figures que j'ai données?
Amicalement
Pappus -
Mon cher Pappus,
Tu pourrais aussi te mettre à Geogebra !
J'ai juste téléchargé Geogebra ce midi, je découvre...
Mais c'est le seul moyen éprouvé qui marche pour mettre des animations ici,
mes essais précédents avec un autre logiciel se soldent par un coup ça marche un coup ça marche pas. (because filtrages de phorum et interprétations de certaines suites de caractères)
C'est finalement très facile (de générer un animation pour le forum)
Le plus long est de faire la construction, ensuite en quelques clics on met ça ici.
Bon je te mets l'animation du théorème de Pappus donc.
<applet name="ggbApplet" code="geogebra.GeoGebraApplet" archive="geogebra.jar"
codebase="http://www.geogebra.org/webstart/4.0/unsigned/"
width="600" height="400">
<param name="ggbBase64" value="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" />
<param name="image" value="http://www.geogebra.org/webstart/loading.gif" />
<param name="boxborder" value="false" />
<param name="centerimage" value="true" />
<param name="java_arguments" value="-Xmx512m -Djnlp.packEnabled=true" />
<param name="cache_archive" value="geogebra.jar, geogebra_main.jar, geogebra_gui.jar, geogebra_cas.jar, geogebra_algos.jar, geogebra_export.jar, geogebra_javascript.jar, jlatexmath.jar, jlm_greek.jar, jlm_cyrillic.jar, geogebra_properties.jar" />
<param name="cache_version" value="4.0.13.0, 4.0.13.0, 4.0.13.0, 4.0.13.0, 4.0.13.0, 4.0.13.0, 4.0.13.0, 4.0.13.0, 4.0.13.0, 4.0.13.0, 4.0.13.0" />
<param name="framePossible" value="false" />
<param name="showResetIcon" value="true" />
<param name="showAnimationButton" value="true" />
<param name="enableRightClick" value="false" />
<param name="errorDialogsActive" value="true" />
<param name="enableLabelDrags" value="true" />
<param name="showMenuBar" value="false" />
<param name="showToolBar" value="false" />
<param name="showToolBarHelp" value="false" />
<param name="showAlgebraInput" value="false" />
<param name="useBrowserForJS" value="true" />
<param name="allowRescaling" value="false" />
C'est une appliquette Java créée avec GeoGebra
</applet>
(le cas cité de l'infinité de solutions)
ABC et C' sont librement déplaçables, B' est restreint à la droite AC' et A' s'en déduit.
Ceci définit une configuration de points ABC, A'B'C' circonscrit à ABC
Puis le point a est déplaçable sur la droite BC pour montrer l'infinité de triangles abc solutions.
(et animé automatiquement bouton pause pour arrêter)
Pour éviter des messages trop longs : suite au prochain numéro. -
Suite donc.
Je saute les cas dégénérés pour animer directement la construction des points fixe d'une homographie.
J'ai pris quelques libertés en construisant des intersections de droite et cercle plutôt que des inversions !
Mon cercle arbitraire passe par A et A' mais O est quelconque (et définit le cercle comme circonscrit à OAA')
AA'BB'CC' sont déplaçables sur la droite AA' et définissent l'homographie, O déplaçable.
J'ai ajouté un point variable M courant et son image M' dans l'homographie pour "visualiser" celle-ci.
<applet name="ggbApplet" code="geogebra.GeoGebraApplet" archive="geogebra.jar"
codebase="http://www.geogebra.org/webstart/4.0/unsigned/"
width="600" height="400">
<param name="ggbBase64" value="UEsDBBQACAAIADy0hz8AAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiu5QIAUEsHCEXM3l0aAAAAGAAAAFBLAwQUAAgACAA8tIc/AAAAAAAAAAAAAAAADAAAAGdlb2dlYnJhLnhtbN1cW2/bRhZ+bn/FQA/7VNNzv3SdFo6BYtMmTYG0xWJfFpREy4wlUiEpX4L++H4zQ+piRUkYyY5QwTYvM5zL+c453zkzlM9+vJtNyU1W1XlZPBuwhA5IVozKcV5Mng0WzeWJHfz4w7dnk6ycZMMqJZdlNUubZwPpa+bjZ4PLNM2UpZcnwqX2RF6m5sQ5NTrJxow5w42zRg4Iuavz74vy13SW1fN0lL0ZXWWz9GU5SpvQ8VXTzL8/Pb29vU26rpKympxOJsPkrh4PCIZZ1M8G7cn3aG7joVsRqnNK2el/X72MzZ/kRd2kxSgbED+FRf7Dt9+c3ebFuLwlt/m4ucKEKcforrJ8coVJGYlJnfpac0hkno2a/Car8ezaZZh0M5sPQrW08OXfxDMyXc5nQMb5TT7OqmcDmghqlRNGDUhZ5VnRtHVY29dp18rZTZ7dxub8WegJo2vKcjpMfUvkr78Ip5yS7/yBxQPHQetYROM9KuKBx4OMBxXryPi4jFVlrCNjHSkG5Cav8+E088hOa4guLy4rwLa8rpv7aRbG095YzZp9hznV+XtUFhSijLL2Uqbf+V+NX0lbGa9Nkq312lSLnp12XTLK9Of3yfeaqVjO80N9crVjnvojncaJf9ZE1Zps0VX4Cb9bPYqPTfNhj/F6vw61fJIpnp12tnLWmgepr3zdVn2abFZ7gxGOKOf1nhEF49AGaq4IczgYTmAOhCkiFS6ZJdofDREGBZIIYomvxwQJ1qEs/kgTGtNEoTF/18AoCUNHkihBWDAqSWBKJBgmjJQL1FCKKDzku2fcNyE0kRpXwhKJMXqbNAwVBR7ENbrnRDAi/MPMEK6J9u0x6W1dWz90NMmJpkQz3yDMGiYdzRn1LRF+NroVV17MF82GiEazcXfalPMlFqgNh7Ryd9FBbXjDb86m6TCbgiHeeCQJuUmn3iJCR5dl0ZAORB7vTap0fpWP6jdZ0+CpmrxNb9KXaZPd/YTaddd3qDsqi/q3qmwuyuliVtSEjMopXY65nLK1c74cNS7EWoFcL1BrBXrt3Hyw3xIlZFFn6L+s6q56Oh6/8DVWrgGSfF1M759XWXo9L/PNaZydBrI5yxajaT7O0+JPKKvvxcuFrLjH+4OOe5SV3UjKavzmvoYKk7v/ZVUZrCFhG58BuY9FQshErn2UweBGqbc+6RK3/rF4qC1Ce3T90wKV3SwhSu+y1WwnVWT65cWL+nk5Xd0KArhI582iCnEDjLTyszovJtMsKEkwbZDy6HpY3r2J2iFiW7/fzzP/SBjBcBIET+AcuAJhTtrjMB5DHT+0ZS0a6tBQg3bqlo+X5czxUCMch/EYakF/49DaqbJumox23eR1cGl00BpO56689nuKXxR587K7aPLR9Wqq/oFfF7NhttShzTbZodo8O32gZGfXWVVk01anAeaiXNTRRNfUfZyN8hkuY0ErktTD9QcGEO+Os0mVdQOfhpgsCiyU0nVt3bodmvqpKmcvipvfoQsPBnB22o3yrB5V+dzrHBmCB66zlVaN8zoFjYzXn/NGiKmPPF1API0XDcxz0VyVVYi64FVw9LY3zWaItUgT1Cto6FLM5yF48/Ik5fAtHNuS+2L5CjAUf1DVglKm0/lV6gO8dtLT9D6rNsQQ2ntVjh8KB7IPM4CRz30DHt15lkXFiCPGyRwNBnva8FOQd03ung1OaKKh0/c+apc4eR/D9xi++ul6M9vwzfHuA6ygQFFSn5LZv9J5Wf/7uCT3JXJTCWVi7SM7GW7c1eYgEh2Vs1lajEkR4p+X8DmDFR2n1KsiSdlKulF0i6YrTmODbTNbEHkntpR9+gls1qTxKOCsROzZRa99BNc2SFklWjyQPYR8YkBUim/R0cpFNwgfrpEk1SFub1rGCCf/ycfjLISOkcLeFfGROvrNfDaf5qO8+TgwvwVV30Qm3QLj+cfB2LSX519kKYxH0gvHY7AWligptJNKWaM0D8l8ay5GCieZNBzW8ijm8pmorEzns7HZw5cdHUIiUUYI5Siz2nCY0QohRYVBTOikFcx9NYAu+kBz8c8AhSbWCcFgO9Jy/FVLTCynjsJulHOG2q8HSn+rufgnWQ1PDOWWaS2FpZI7twRIU21gSJpRa6V69Ljq9R4RVZca0a/NEdStszrnLdlLtX6bPYKyX+TVaLojpnqNA98dWo3+zz6u/cg18tESB199j/hqH6jEHuFQPsmKG4y1rGpC7mi7xH9PY//kfXfnjoWMwpex9tZ7toYWlKTK78h5V/+8q3XOvTFxbaSmRiqqqFYY1LloeziXaJgnzFlqGDNCGYTfCrn/uQoFmgpplI/6nDFKdisRD8I4v/yUXwKOvvH166gLF1vwDz8F/0ZsPfx66G9F1zKhQjEuuXCQp9AsWBvA8xE0M9ZZRfHXxJzwRCQClGOY0gzBNxPmqYPr3ag830Jl3AOT8XEhAsJ3CMGoczqyPYX/o4CHIwDg3CnVAqITq62KcbMSknbrWseAyMUOZ5n1wCU7KlzA5ErDNXEupWlJHiAhJBaMSkNdm7qcMAEnxVgkfi6t2cftHtpQdsBy2QOWy6OCxcIgrLUCvorFcIEn0iL1V7AN4S3JtosDzCSwLO13ajncm2BPDcuLosmqGgJ7gI2PCAI6w3DCl+uo60FGnwB79EWhoN9xm8TDMB4OsYCD0BjGQLkRGr6Lqo5jGEdW4zxlC+mUceIRgrpPCny8S9zDPuIeHo24WWLgbxjVlCljmeGyE7f0cZOAA1PIHKU+zDJvT2lnO5W7fw452iOHfAzJIzhSGp6IQ7pOW8PNMpji0jgN/2RQDK3/GpK/3Knn/SU/PDLJy4RLqLt1iFXBA7wNmQR3XFv4F1iDoPow+ffnrsIPd9DsdQ+avT4EzR5oHd4n5hSMiYwM0al27V6HRAC6KfoYliJQhe8Bz0o8xOURhD8tLqMduEx74DI9Kly03PAuARaROLPui6LLOZGJ5kiQAx0bjjTuGHBpAYlWs4XLrFduPTtMbn0wbHxmILR1zhrFrIiEIBKuwb+Ih5hRimmmOnSU0T5pQIatES7ZY0NntIVO0QOb4qiQUUJLTw8UCTR3UkdoJPI2jQxbUAUQwjuMIW9IDJwZ9ZamkWy7pzecXfw+jcgUW8i86EPoL76Iyru3ag6638t1IrVmGnmzsQqRrG55hjmlJFyXZxmt2y0okSDlQ02/r2iE6nB51JDqOoq8dUwbQv+5j9B/Ph6hS54oLZQAl1Pve2LkCiTA4BpJtGKIpZyOMkdybSjTwlnwvjVWHFDmH/BAL6K4f94S9ryH75l/me95FGH7zNdxKaRfMTKOim6RjyUCSbDxH4vAScUdPb+SrgQyZKuYX/kTVDw5MXwyu5jH7GLbIhZ9LGJxAIs4yKoSkmUpjOROG62pddK2KQWjFEGV4gysbRjrTOJpU7n5rlTupo+wb45F2D7sAdMyaZUUAurdLXlD+Mg1OHyM44J/xQ3uV33k+movuYZXLg67DfuFrwR6SvCBEEWegDzO6uX7gZw7ZBWGghm0eqKsul28XmxhM+nBApNDsMBBdF4lQvlMDPka/IhmrlsqQlCqQAlaaQOK6PI2ngjqHLXUCYsYiB7RvtvNFiJXPRC5OhpEJEJ8uCGJHyUZZazNoyXu+kiHAwC/89kCgnjUSv9yh5T+zY8nB2QXSaQRlckWKn/08WF/HAs3MJtw6DvSACWUE5RHbkC8amAMTDiqmeU8UoOAp1NAgzIDYBg3T0DKrbyvtuT9Zx95/3k08qYWoQ/ETBXTxhkVvb6wCRWcQeAauZnSNMY9yNVAzgo5g/MOy6fLT0ECr7aEnfdwOfl+LucABL25e8mokFZo5FnIe7sFIvAqEjKhUAKNbrcvmUpAGkZS/8Pgjo7F6Swj03xXZDrrYw2zrx1BbeRqRvrVbeo0iMG/btTxAlfMWaeEfwud2yd6xX/28Vf83/awg7d72sEhd/F5AsJFMKk55f7rZd1Lf0Y5hKDIw5ARC9m9XGH97oJVSnK/6O2/DH0kdjCP6LzdwuWXPur/y17qz/z7cMP2eABkpF/DplZz4aDslnf7C5pJMIECLpRS2e7dC/CBEE5ZWIeBa5OPaw3tls4vW/J+18MO3h2RHdBEIuFlXFsD/eZg4OhuDOxDaiuQenHjhG7fJT5xIAoDVJAdhNePn/zLLp9khHc7GaH/tvNsj23nR6Jvy8EO/qsSCsCEZDjkyBQhlIXPkoDHufarSU+VI892kEPVwyiqowqSJBNUwt9D0koI23ogIxj3r3dxZp0UosvMVMIM185yB6cljXjyvedPpArV9vJSf1N4dWymwBhLHOJS+CiAoUT7zSEBNJiPkYzlqKLblzACqyiOtFpbrrR0exnG6fo3ef11929ffvgbUEsHCK7gTE/UDAAAk0YAAFBLAQIUABQACAAIADy0hz9FzN5dGgAAABgAAAAWAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYV9qYXZhc2NyaXB0LmpzUEsBAhQAFAAIAAgAPLSHP67gTE/UDAAAk0YAAAwAAAAAAAAAAAAAAAAAXgAAAGdlb2dlYnJhLnhtbFBLBQYAAAAAAgACAH4AAABsDQAAAAA=" />
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C'est une appliquette Java créée avec GeoGebra
</applet>
Amicalement. -
Merci, chephip pour ton animation.
Il reste celles concernant le cas où $f$ est involutive et tu pourrais voir à cette occasion comment fonctionne ta macro des points fixes. Que donne-t-elle d'ailleurs dans le cas où $f = id$?
Hélas, je suis trop vieux et trop habitué à Cabri pour changer d'habitudes.
Peut-être qu'après les fêtes de fin d'année, je m'y mettrai!
J'en profite pour souhaiter avec un peu d'avance à tous les participants du forum mes meilleurs voeux pour la nouvelle année 2012 .
Amicalement
Pappus -
Mon cher Pappus, (et les autres aussi !)
Je ne vais pas me focaliser d'avantage sur ces histoires de points fixe des homographies et leurs cas particuliers. Recentrons le débat.
.Tu écris a écrit:C'est parce qu'on a démontré auparavant que les sommets des triangles solutions sont
des points fixes d'une homographie qu'on sait pouvoir les construire [à la règle et au compas] et non l'inverse
Certes mais tu oublies là complètement ma méthode qui est totalement différente et qui ne fait intervenir aucune homographie (enfin si, mais elles sont planquées dans le théorème de Chasles-Steiner et autres notions projectives sur les coniques)
Je la détaille donc en reprenant les notations d'ici, plutôt que les miennes qui datent d'il y a quelques années quand je m'étais coltiné au problème d'origine (construire etc) alors que maintenant il s'agit plutot de discuter des conditions de cette construction (combien de solutions, quels cas particuliers etc)
Etant donnés ABC et A'B'C' construire abc, a sur BC, b sur AC, c sur AB, A' sur bc, B' sur AC et C' sur ab. (La précision de quel point sur quelle droite est très importante, une permutation de A'B'C' donne des solutions différentes).
Soit b un point quelconque de AC, c le point d'intersection de bA' avec AB
(bon, oui, ça définit une homographie de la droite AC sur la droite AB (une projection) et alors ? laissons tomber ça pour l'instant)
Les droites bC' et cB' se coupent en un point a qui n'a bien entendu aucune raison de se trouver sur BC !
Je cherche le lieu de a quand b parcourt AC. L'intersection de BC avec ce lieu donnera le(s) point(s) a solution du problème, d'où il est immédiat de déduire les points b et c correspondants.
Je définis D comme l'intersection de A'B' avec AC et E comme l'intersection de A'C' avec AB
La construction de a s'avère alors être identique à la construction du point courant d'une conique passant par ADC'B'E
Le lieu cherché est donc cette conique !
Les solutions sont donc données par les points a intersections de BC avec la conique (ADC'B'E)
Or on sait construire [à la règle et au compas] l'intersection d'une droite BC avec une conique définie par 5 points
Je ne détaille pas ici : Geogebra fait ça directement "de nos jours".
Point final (pour la construction) sans utiliser explicitement les homographies ni surtout leurs points fixes.
J'ai donné l'applet de cette construction précédemment (avec des noms de points différents), je ne la remets pas.
Maintenant vient la deuxième étape : discussion de cette construction.
C'est à dire sous quelles conditions sur ABC,A'B'C' y a-t-il 0, 1, 2, infini solutions ?
C'est simple : il s'agit donc de discuter de la position de BC par rapport à la conique (ADC'B'E)
C'est tout.
Pour les détails, on trouve que :
Il y aura 0 solution si la conique ne coupe pas BC (on va dire dans la moitié des cas)
Il y aura 2 solutions si elle coupe BC (l'autre moitié)
et "par continuité" la frontière entre les deux : 1 solution si la conique est tangente à BC
Hors cas dégénérés suivants :
La conique est une droite double, plus ou moins "trouée" : 0 ou 1 solution, ou une infinité
La conique est deux droites parallèles : 0 ou 2 solutions, ou une infinité
La conique est deux droites sécantes : 2 solutions, ou une infinité
L'un des deux points d'intersection est à l'infini (un "triangle" abc avec un point à l'infini) : la conique est une hyperbole, éventuellement dégénérée, et BC parallèle à une asymptote.
Il y a une infinité de solutions : la conique contient la droite BC, cette conique doit donc être dégénérée en la droite BC et une autre droite (ou la même double)
Je laisse tomber les cas de dégénérescence encore plus grave où la conique se réduit à un seul point.
On peut comme moi fixer A, A'B'C' et discuter en fonction de la position de la droite BC.
On peut aussi comme tu le proposes chercher une condition sur le seul point C', ABCA'B' étant donnés.
Etudions ce cas (toujours avec ma méthode d'intersection de BC avec une conique)
Je cherche donc sous quelles conditions sur le point C' (hors cas dégénérés) la conique (ADC'B'E) est tangente à BC.
Cela me donnera le lieu de C' pour lesquels il y a une seule solution.
Cette frontière séparant le plan en régions : celle(s) ou C' donne 0 solutions, celle(s) où C' donne 2 solutions.
Une petite applet de géométrie contemplative permet d'affirmer (sans preuve) que le lieu cherché est une certaine conique.
J'opère ainsi :
Soit a un point quelconque de BC, sommet d'un triangle solution unique, et donc point de contact de BC avec la conique (ADC'B'E)
Cette conique est donc constructible par la seule donnée des points A,D,B',a et la tangente BC en a
L'intersection de cette conique avec AB donne le point E, d'où on déduit immédiatement le point C' et Geogebra me trace gentiment le lieu de C'.
Toutes ces constructions sont réalisables à la règle seule (sous réserve de points à l'infini = parallèles)
L'applet construit d'ailleurs E ainsi.
Puis j'utilise l'outil conique et intersections d'icelles de Geogebra pour terminer plus rapidement.
<applet name="ggbApplet" code="geogebra.GeoGebraApplet" archive="geogebra.jar"
codebase="http://www.geogebra.org/webstart/4.0/unsigned/"
width="600" height="400">
<param name="ggbBase64" value="UEsDBBQACAAIAC1jiD8AAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiu5QIAUEsHCEXM3l0aAAAAGAAAAFBLAwQUAAgACAAtY4g/AAAAAAAAAAAAAAAADAAAAGdlb2dlYnJhLnhtbN1cWXPjNhJ+Tn4FSg/7FNG4j6ydlO0ktU5NjqqZ3dralylKomWOJVIRKR+p/PjtBkhJtCzZtCUPJ5w4vECA6K+/PgBQx9/fTSfkJpkXaZ6d9FhEeyTJhvkozcYnvUV52be977/7+nic5ONkMI/JZT6fxuVJT2LJdHTSS6hkowFXfWnlsC9lQvtOaNW3VHOVXA6so6ZHyF2Rfpvlv8bTpJjFw+T98CqZxu/yYVz6hq/Kcvbt0dHt7W1UNxXl8/HReDyI7opRj8BrZsVJrzr4FqprPHQrfHFOKTv67y/vQvX9NCvKOBsmPYJdWKTfff3V8W2ajfJbcpuOyquTnqXQjaskHV9BnzRlPXKEhWYgkFkyLNObpIBH1059n8vprOeLxRne/yockcmyOz0ySm/SUTI/6dGIqx7J52mSldXdupWj+vnjmzS5DRXhkW9D9kiZ55NBjHWQv/4inHJKvsEdCzsOO63DLRquURF2POxk2KlQRobHZSgqQxkZykjRIzdpkQ4myUnvMp4UILM0u5wDXsvzoryfJP59qgur/rJvoE9F+icUFijRIGS4Tuk3+KfhT+KNo2Yn2Vqr5XzRstG6SeP485vkr+qoqNvkj3WTqy3d1DsaDf1+Tj+ZWmsTmvL/+b+NFsWubj5sMZy/rkEt36SLx0c1VY4rdpDiCstW2lMm0wL5IhxRDtWeEQXc0Aa0XBHmYGc4ATYQpohUcMos0bg3RBi4IYkglmA5Jognh7LwP2l8ZZooqAyvGuAkYdCQJEoQ5jklCTCJeF4CR7mAEkoRBQ9h84xjFUITqeFMWCLhHZGShkFBAQ/COTTPiWBE4MPMEK6JxvqYRKpri68OVXKiKdEMKwRWA6MDm6G8JQJ7oytxpdlsUTZENJyO6sMyny2xgNJgj1Z2Ltinhhn86ngSD5IJeIb3iCQhN/EEGeEbusyzktQg8nBtPI9nV+mweJ+UJTxVkE/xTfwuLpO7n6B0Ubftyw7zrPh9npfn+WQxzQpChvmELt85n7C1Y758azgRazfk+g21dkOvHZtH283hDlkUCbSfz4u6eDwaXWCJlWkASf6WTe7P5kl8PcvTZjeOj7yTOU4Ww0k6SuPsP6Cs2ArKhdQ+x5ur2udIqeoXyeej9/cFaDC5+18yz8HGKB1ZsdrAj9yHO1LoiOnVZgHvYhgj94yK6PoGFut+yy0TWk5ulgDFd8mqr+M5Envt5KI4yyerS7775/GsXMx9tAAUnWOnTrPxJPEq4okNrnh4Pcjv3gfdEKGuD/ezBB/xbzAYe7GTOfYZejmu9oOw92Xw1ZalqC9DfQlaK1s6Wt5nKOJxtR+EvS8F2htereoqq7vJaN1MWniDRnsVbWpjhbqPnn2RpeW7+qRMh9erruIDvy6mg2SpQc062b7qPD56oGLH18k8SyaVRgOYi3xRBIKuKfsoGaZTOA03KpHECNe/4QXC1VEynif1i098JBYE5u/SdWXduOyr+mmeTy+ymw+gCw9e4PiofsvjYjhPZ6hzZABe4DpZadUoLWJwIqP155CC0PUhOgsQT4migfp9cwUZp+N8DIEU0HVRXuVzH36BlYE9cnGSTCH0IqVXOK+zS8Gf+igOJUzywScwdEtfGO6vIITbjyqfV9N4MruKMdKrxDCJ75N5QzC+vl/y0UNxARq+T8D6GVaAeM+SJKhKeGM4mEGFnmENuwUIFOTupNfnkQXne48xuYGDP0MYH+JY7C4Sr2Grw9UH6IFKBUk9IbOzbsnsJRITkeReYCrCOOnAAjs/uMDYoQVGI+vlRSNtDy6v03/Es7z455cvtT6NlDNrm3UVTcGVr2+H5+zfRaSgiJD3rjYcWvASZWb/Eh3m02mcjUjmc5h3EDn0ViF1TNF9kJihRQxCW5T1jfgjD5VVVWzAg2HIUu5Yejcya7JYh4ZR3oiV/PlLDWtTb20jUGReyjri2gu2L1gkmNMPQ6oSgv1rcMSFz7LLKsLzB/9KR6MkW2pI8kcWHilCnJNOZ5N0mJYvheB8A4LBR9ECAizdJQhkRHUDAeUREJEWbn0zAQ8VGS42ItzPAMfZNjiGreAYdg4OLTf5AIGXDuFDn0VOUNko8fnBqB1pMFLVyUNgRi1gGXUKFIiWmxxhIQoG29TgiFM1SZyRbJVNvzVC75MxXn+uDzk9241MUVW3DJueCsy3oLO3yHy/DkS8HAIvxglGERdZCWlz4vPGzWz4OklmOAzxW/ZhHmcFzmyEMmtZdisst1q/s/N2WJ49lTO8HZb7NX1fIqrnAdXTDVTTdqCmncG0vyW86G+JL54ML7oN67LiB8Bi0OehHW1A+8NuaJvZ1Q+vyKuYEtUg5ovzqjVcmYgMeDatKhfHA1u5gIzTce3qy6KClVGmVmDbPWZLW5zdcyKSqtDa7RZOsPnswQn3TGAOGKp0m3q/e6I0laBKBZoJcxu+xS/iWz2xQJ/BN74L1n2MY4DTpJY565jiWhhrRCAqOFuuGYNbwlmpxduMY5yt0zLeACdpkSIkm9g05zp2kq7OEHaj80wvxyIluJPCCM2UoY6ZinOMKme0xrCFKa1lzTkrjeVWK6Vw6cpbpwdPeqlkA5iLj6wNb7D4E+g8Th3FGujg6R7gkZFToPtUOlB64yvHGASva2slNYoqyxhbjtBbKOgsV1YLqgQ7LCdQWFsys8sWfLjsDh/6zEVUGaCENopxrUwlcBqBPK2iYHKEhRihEjiHtqighoGpElqyLowv/bDNRl23wOS6O5hg8sS5pVxCQG6tqkgASRfECIYxqp2T0lZhAUMbhVDgtAKT8ExXjNRlwOV6A5ef2xionztknoS1kVFcQvZrmHYQUXtkDEUOCXDQToCNqgI2baCsoFxxJRWz0r2hv/55Q+aTFlyYdIcLImKg2VJK8MEaBF8xwQmlIKFhRuAqRReYABkN4xacO6Y0DCKmrhAB53I8LJMNWH5sQ4UfD55TPtdruMg4biSX1hlHhQ0WCvxyZKk2lAsNmSWtvDTnkQL4HJgvIw23ShyWCT9WYzNbUslpCyZMX5YtHsT40EhzIyjYHe0gcLUmpIt9zCMFdZA1YKTKtdZmGRxxiJQk4ESFMObNHcN5nqXDx4e20WfzAJVYt13yMT8+243Y0DdTQzJ7TYK/vsDsxZC9SMDpOMlu4G3zeUHIHfWz2toyCbEZBGdUgIsHuKnHG4JjAFxYQS0GYgb9Da3W6d8xfPSREvfs8Tr/ZGvJJOSw8/SOnGJtyrFIG04h7wGqa+T4KZQVTrFIApetcUYYMM5wHaCEnFWriDOIyJ0Gow1Vnwq/JFpGYKMpROfgCDU2eQoo96Fm4xcyKmkcg+Aerisf6jsKDTsJ/4SitB6B2q9JngU1nAY15Bsqd/6cgaYHS3pesZ6iOQ6xvxkXayljYHQZh9DF2XrCmKN+WPCpzhlqDjCe8KQn3Mxbh21kPTz4aM/zY3VtNYTe0lIrpdEhf0KKUO4w9nNMgKsMMqYRFwZUmxvMoRTlh3WEw92OMGvhCLPuhIS43kwJx0C6CpIkq5Z+EEIRatDScAoyrhIkAUZGIQkgJGFULpcOf/6wcDmIk21AM2hDhkFXyABhoRTAA2Y0ZDxMyCoshMuQ0TJMj6RRktfzR5gbQUBDueaK7TM9enyiYbBtnOCP3dJ+OJ/wx8sijOUidir3SQZjIPUERljNFBBCViZeaQFWhgEeHBGpptjBAlmncdqBAxgUU9XtZOj2LMLjGMcB4+EGxvN2GM87hHGfR8JApKS0hoQX/tVjdBFEX5B9aQt3OQPP4kF2EYUki0JqBvmCovrLnSjaSeNNiIt2EBddghgiXrCGDuI1wTizzNpqXsJKYDeYU+WccrKalrAQdRgB+R5OFMGh/WIhfpcPF8XDtRW7Z54mabJ4Yopj4mtdDmf5B14F9h7i8vbgtF6T8pyJ9Or6s/KbjRVIzWc/t0QbmY7DSNvgDAb4QCBNRR9tuQCGQOChGfMffiF/dMQtcwwcplWUWfl384INTdgW/p++QhNOO6sJOOrV0IT6IxXe1ARdT59E1gguoLDAqV/DzBerC9vyjFHlMB9bYvGRtsk0sPihh6CfuXqG2QhHjuxy+VKYGuAmkgAvk9U3sCrERDpyDFKM1XbYxPt8tw0et0i8x/sYztzPQjIBadz69zRSVtSizc9vwOZWA/+QkUu3WrEkdnHrTVPvcRVcfNwc+Rs+9ZnOg5GoJ7/T2UWJvQLEDGR9ykL6HbZqdhJnZRilUgvmNxq+1uMMRwftajvwrMywHvrb5o+uWrDiqjOsgARcMoeBhDNWUs10nZxJipPCwlnFOFfWVoZI4TyNX1ihoHhnBqOuAjiDR5zEoB0jBt1hBC6OMJQZCmEAGCkjK0oIQC0wAi7qOhYAj2INhXyL45CKUfpNnMQ2OnxqQYdPnaEDrhZvfHQpl3wQjc9eXT04axoe4s0/wNnGh0+7PESrFXbDx1bYfS4+uEhxapStfLWuPISOQOEhLGp6CIHTcHLlIQ7tINjusKlswYjy8Ix4/ggtOACJSxdxwFUyUaemXFMD4uUcfC8XYVlv3wBPuOSOcvAnqjt8KHclEa34EHeHD7gyhRomIDW0WoKyVxOkPAIHrbVjQnEpqlFVxQSXUFwxqrk1hyUDZlqVQ940QIOnBP7gM+YXDn499ns5e4mYBC49YDiyCfLESbngIiTYJi0pyhnnq6vvjCCqZUIbZ5QykNXZLq04/cg2sBm1wmbUMWwgU+DMf2UiuTaa2uoXUSCStVJTh3ZJ18vtaMSYX0aiuHNgzbpiqga1Ixk9gs9FG1N18SJD5cc51sY7/P712EjwDIKDnTKSMoXLG/2AB/5cjXGcOVz761i1+EtHGpDURuAMEZqyN4llLzbEnbSiQ9IxOkA0yxQFG4VTqVaL5YI7AcZISYifrGDSVB8wc5S5cpBUCMgflKWdcd7JkhEbAH1ow4cPXeID/sKV0WCWQOKQ4dWfLjALmbdQmHtz6agK7hvIYx31wS1kfZCDv4oPR+u/PYbn9c/Tfvd/UEsHCJrV7cSxDgAAO1cAAFBLAQIUABQACAAIAC1jiD9FzN5dGgAAABgAAAAWAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYV9qYXZhc2NyaXB0LmpzUEsBAhQAFAAIAAgALWOIP5rV7cSxDgAAO1cAAAwAAAAAAAAAAAAAAAAAXgAAAGdlb2dlYnJhLnhtbFBLBQYAAAAAAgACAH4AAABJDwAAAAA=" 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<param name="showToolBar" value="false" />
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<param name="showAlgebraInput" value="false" />
<param name="useBrowserForJS" value="true" />
<param name="allowRescaling" value="false" />
C'est une appliquette Java créée avec GeoGebra
</applet>
Reste donc à démontrer les propriétés suivantes :
soit c1 le point d'intersection de A'C avec AB, puis a1 l'intersection de c1B' avec BC
soit c2 le point d'intersection de B'C avec AB, puis b2 l'intersection de c2A' avec AC
Le lieu des points C' admettant une seule solution est la conique tangente à A'B', tangente à AC en b2 et tangente à BC en a1
(on peut aussi construire immédiatement le point T de contact de cette conique avec A'B' via Brianchon)
"Par continuité" les points C' "intérieurs" à cette conique donnent 0 solutions, les points C' extérieurs à cette conique deux solutions.
Hors cas dégénérés avais-je dit.
Quand a est sur l'intersection a0 de BC avec A'B' est un tel cas de dégénérescence ou a,b,c,A',B',C' sont tous sur la droite A'B'
Donc le vrai lieu de C' est la réunion de la conique et de la droite A'B' (A'B'C' applati sur la droite A'B')
à suivre (pour une preuve du résultat de ma contemplation)...
Amicalement -
Mon cher chephip
En ce qui me concerne, je n'ai fait que manipuler l'équation de cette conique pour aboutir à la découverte des nombreux cas particuliers que j'ai cités.
Par exemple dans le cas où le triangle $A'B'C'$ est inscrit dans le triangle $ABC$, (un des cas où l'homographie $f$ est une involution), saurais-tu caractériser sans calculs les triangles $A'B'C'$ pour lesquels il y a $0$, $1$ ou $2$ solutions?
Amicalement
Pappus -
pappus, je serais très heureux d'avoir le résultat de tes calculs et quelques une de tes méthodes.
Personnellement, je ne vois rien sortir de « facilitant » dans ces calculs...
Cordialement, -
Mon cher Paul
Hélas, je n'ai pas le temps en ce moment où je me prépare à un long voyage au delà des colonnes d'Hercule.
Je serai de retour dans la première semaine de Janvier si Eole le permet.
Tout ce que je peux te dire c'est que ces calculs n'ont rien d'extraordinaire.
Je travaille dans le plan projectif et je choisis un repère projectif $(A, B, C, D)$ où les trois premiers points sont les sommets du triangle $ABC$, le quatrième point $D$, qui est le point unité du repère, est choisi arbitrairement.
Je me donne ensuite les coordonnées homogènes des points $A'$, $B'$, $C'$ et celles des points $a$, $b$, $c$ et j'écris les conditions d'alignement du problème sous forme de trois déterminants de taille 3 à annuler. C'est tout.
A toi de poursuivre ces calculs.
L'homographie $f$ se présente sous la forme d'une matrice de taille 2,(définie à un facteur multiplicatif non nul près), elle même composée des trois matrices d'homographies: $a \mapsto b$, $b\mapsto c$, $c\mapsto a$
Tout à fait banal ce calcul du produit $M$ de trois matrices de taille 2. Encore faut-il les écrire et c'est là où le bât blesse pour nos agrégatifs, capables de dévisser brillamment une matrice de taille $n$ si on la leur donne mais infoutus de calculer une matrice de taille 2 quand on la leur demande!
Enfin , on a $f = id$ ssi $M$ est une matrice scalaire et $f$ involutive ssi $\mathrm{Trace}(M) = 0$.
Amicalement
Pappus
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