Inégalité

Mister Da
Mister Da
dans Analyse
Bonjour,

je suis tombé sur l'inégalité suivante : $|\sqrt{x}-\sqrt{y}|\leq \sqrt{|x-y|}$ où $x$ et $y\in\mathbb{R}^+$. Je pensais pouvoir la démontrer en invoquant la monotonie ou la concavité de la fonction racine carrée mais je tourne en rond. Auriez-vous une petite piste ?

Mister Da

Réponses

  • Lucas
    Lucas
    Bonsoir,

    En supposant pour simplifier que $x>y$, tu peux élever au carré des deux côtés, et tu es ramené à une inégalité assez claire.
  • Mister Da
    Mister Da
    Merci Lucas, effectivement c'est direct, je suis honteux
  • gottfried0
    gottfried0
    il y a tout de même un lien avec la concavité: si $0<x<y$ l'inégalité revient à dire que le taux d'accroissement entre $0$ et $y-x$ est supérieur à celui entre $x$ et $x+(y-x) = y$. C'est vrai pour toute fonction concave: le taux d'accroissement entre $\alpha$ et $\beta$ est une fonction décroissante séparément en $\alpha$ et en $\beta$. Ici par exemple on fait $(0,y-x)\to(0,y)\to(x,y)$ ce qui ne peut que faire décroître le taux d'accroissement. Mais comme les deux intervalles ont même longueur on obtient une inégalité sur la fonction.
  • Lucas
    Lucas
    > effectivement c'est direct, je suis honteux

    Etre honteux de temps en temps, c'est l'unique prix à payer pour fréquenter ce forum, c'est pas si cher comparé à ce qu'on y trouve...
  • Mister Da
    Mister Da
    @gottfried : merci pour cette démo maintenant l'inégalité crève les yeux. En fait j'ai utilisé la convexité d'une mauvaise manière en écrivant $f(\lambda x + (1-\lambda)y) \geq \lambda f(x) + (1-\lambda)f(y)$ avec $0\leq\lambda\leq1$ ce qui n'était pas la meilleure chose à faire.

    @Lucas : c'est clair, tu prêches un converti !

    Encore merci

    Mister Da
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Français