Angle inscrit, angle au centre

Bonjour,
je travaille actuellement sur le théorème de l'angle inscrit avec mes élèves de troisième. Dans le fil des activités, nous nous sommes posés une question, existe-t-il un équivalent avec une ellipse. Une ellipse a un centre de symétrie, on pourrait imaginer "des angles au centre" et a aussi deux foyers, imaginons "des angles au foyer". Y-a-t-il une propriété particulière qui relierait les mesures de ces angles à celles des angles "inscrits" qui intercepent le même "arc elliptique" ?
Après quelques tests avec Geogebra et des recherches sur le net, je suis relativement convaincu que cela n'existe pas. Mais j'aimerais savoir alors pourquoi une telle propriété ne peut pas être étendue aux ellipses. mon niveau sur les coniques n'est pas suffisant pour voir où est le problème, il existe des transformations pour passer d'un cercle à l'ellipse, pourquoi ne préservent-elles pas ce théorème ?
Merci pour votre aide.

Réponses

  • Bonjour,
    il existe des transformations pour passer d'un cercle à l'ellipse, pourquoi ne préservent-elles pas ce théorème ?

    Le problème, c'est que les affinités qui font passer d'un cercle à une ellipse ne conservent pas les angles, ni même les rapports d'angles !
  • Il y a une propriété angulaire qui passe d'une conique à centre au cercle, qui est un cas particulier, c'est le premier théorème de Poncelet.

    Si l'on trace les tangentes $T_1$ et $T_2$ issues d'un point $M$ à une conique à centre $ \mathcal C$ ; en un point $P$ quelconque de la conique en trace la tangente $T_p$ qui coupe $T_1$ et $T_2$ en $A_1$ et $A_2$ respectivement, alors, si $ F$ est l'un des foyers de la conique, l'angle $ \widehat{A_1FA_2}$ est indépendant du point $ P$.

    Bruno

    [Réduction de la taille de l'image]21621
  • Le thm de l'angle au centre c'est aussi le théorème de l'arc capable. Et là, on peut faire un lien avec le birapport.

    Si on considère quatre droites passant par quatre points distincts $A$, $B$, $C$ et $D$, concourantes en un point $O$, le birapport de ces droites peut s'écrire
    $$\frac{\sin{COA}}{\sin {COB}} \frac{\sin{DOB}}{\sin{DOA}}$$

    Une propriété classique des coniques, c'est qui si on prend $A,B,C,D$ et $O$ sur une conique, alors le birapport des droites ne dépend pas du point $O$ choisi.

    Cela est facile à voir avec un cercle, car dans ce cas les sinus des différents angles $COA$, $COB$, etc. sont constants lorsque $O$ parcourt le cercle, donc le birapport est bien constant.

    (J'ai bien sûr laissé de côté les cas ou $O$ se confond avec l'un des points. Dans ce cas, on prend l'angle entre la tangente en ce point et les trois autres droites.)

    Excusez-moi, un dessin serait bienvenu, mais je ne sais pas encore les inclure sur le forum.
  • Bonjour Paul.

    C'est un dessin comme ça que tu veux ?

    Bruno21622
  • Oui ! Merci Bruno !
  • Voilà l'animation que je ne suis pas parvenu à insérer hier en lieu de la figure statique. Aujourd'hui, ça fonctionne mais je ne sais pas pourquoi. Vous pouvez ouvrir une fenêtre "Geogebra" en faisant un double click sur la figure.

    Bruno

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    <head>
    <title>Poncelet 1 - GeoGebra Feuille de travail dynamique</title>
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    </head>
    <body>
    <table border="0" width="952">
    <tr><td>
    <h2>Poncelet 1</h2>
    <p>
    On peut bouger le point P. Attention, la mesure de l'angle de droites est défini à 180° près.</p>


    <applet name="ggbApplet" code="geogebra.GeoGebraApplet" archive="geogebra.jar"
    codebase="http://www.geogebra.org/webstart/3.2/unsigned/&quot;
    width="952" height="456"mayscript="true">
    <param name="ggbBase64" value="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"/>
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