Sous-groupe

pour tout groupe commutatif $G$, on note $G_{10}$ l'ensemble des éléments de $G$ d'ordre divisant $10$.
Aprés avoir décrit les groupes commutatifs de cardinal 1000 à isomorphisme prés, il faut décrire dans chaque cas $G_{10}$

Rappelons que $G\sim G(2)\times G(5)$. Si $g=(h,k)$, avec $k\in G(5)$, il est clair que l'ordre $o(g)$ est le ppcm des ordres $o(h)$ et $o(k)$.
Mais $o(h)$ est une puissance de 2 et $o(k)$ une puissance de 5.
Il reste que $g^{10}=e$ ssi $h^2=e$ et $k^5=e$.
Posons $G(2)_2=\{h\in G(2)$, tels que $h^2=e\}$ et $G(5)_52=\{k\in G(5)$, tels que $k^5=e\}$.
On a donc $G_{10}\sim G(2)_2\times G(5)_5$.

On a : $(\Z/2^3\Z)_2\sim (\Z/2\Z)$, etc.