Solutions linéairement indépendantes

Bonjour à tous,

je sèche sur un exo trouvé dans M. Braun : Differential equations and their application, p 355.

L'énoncé est le suivant :

Soit $x(t) = e^{\lambda t}V$ une solution de $\dot x = Ax$. Montrer que $y(t) = \mathrm{re}\{x(t)\}$ et $z(t) = \mathrm{im}\{x(t)\}$ sont linéairement indépendantes. Indice : observer que $V$ (vecteur propre de $A$) et $\bar{V}$ sont linéairement indépendant dans $\mathbb{C}^n$.

Les notations :
\begin{itemize}
\item $A$ est une matrice carrée $n\times n$
\item $\bar{V}$ est le conjugué de $V$
\item re et im signifient partie réelle et partie imaginaire
\end{itemize}


J'ai commencé à attaquer le problème de la manière suivante :
$V$ est un vecteur propre de $A$ et j'ai supposé que la valeur propre associée était $\lambda$ un complexe (ceci n'est pas précisé dans l'énoncée mais utilisé tout au long du livre). On a alors $AV = \lambda V$ et par conjugaison $A\bar{V} = \bar{\lambda}\bar{V}$. $V$ et $\bar{V}$ sont deux vecteurs propres de $A$ associés à des valeurs propres différentes, ils sont donc linéairement indépendants.

D'autre part, le vecteur $x$ est bien solution de l'équation dynamique $Ax(t) = e^{\lambda t}AV = \lambda e^{\lambda t}V = \dot{x}(t)$. En identifiant les parties réelles et imaginaires, on montre aussi que $y(t)$ et $z(t)$ sont solution de cette équation.

Pour montrer l'indépendance linéaire de $y(t)$ et $z(t)$ je pensais écrire
$$
y(t) = \frac{1}{2}(e^{\lambda t}V + e^{\bar{\lambda}t}\bar{V}) \quad\mathrm{et}\quad z(t) = \frac{1}{2\jmath}(e^{\lambda t}V - e^{\bar{\lambda}t}\bar{V})
$$
et raisonner par l'absurde en supposant qu'il existe un réel $k$ tel que $y(t) = kz(t)$ et monter que cela impliquerait que $V$ et $\bar{V}$ sont linéairement dépendants mais j'échoue.

Je vous remercie par avance de votre aide.

Mister Da

Réponses

  • Evalue en t=0.
  • Ne peux-tu pas exprimer $e^{\lambda t}V$ et $e^{\bar{\lambda}t}\bar{V}$ comme combinaisons linéaires de $y(v)$ et $z(v)$ ? Par conséquent ...
  • oups je n'avais pas vu vos interventions merci.

    je n'avais pas pensé à fixer $t=0$. Donc effectivement si je fais ça, en supposant $y(t) = kz(t)$, j'obtiens que $V = \frac{k+\jmath}{k-\jmath}\bar{V}$ ce qui est contradictoire et qui finit la preuve.

    Par contre je n'ai pas compris ce que voulait dire Bu. J'ai :
    $$
    e^{\lambda t}V = y(t) + \jmath z(t)\quad\mathrm{et}\quad e^{\bar{\lambda} t}\bar{V} = y(t) - \jmath z(t)
    $$
    mais je ne vois pas comment je peux conclure.

    Merci encore pour votre aide et votre rapidité
  • Il faut plutôt montrer que la famille
    $$
    y(t) = \frac{1}{2}(e^{\lambda t}V + e^{\bar{\lambda}t}\bar{V}) \quad\mathrm{et}\quad z(t) = \frac{1}{2\jmath}(e^{\lambda t}V - e^{\bar{\lambda}t}\bar{V})
    $$
    est libre. Si $A$ et $B$ sont deux scalaires tels que $A y + B z = 0$ pour tout $t$ alors on a
    $$
    \frac{A}{2}(e^{\lambda t}V + e^{\bar{\lambda}t}\bar{V}) + \frac{B}{2\jmath}(e^{\lambda t}V - e^{\bar{\lambda}t}\bar{V}) = 0
    $$
    soit
    $$
    (\frac{A }{2} + \frac{B}{2j})(e^{\lambda t}V) + (\frac{A }{2} - \frac{B}{2j})e^{\bar{\lambda} t}\bar{V} = 0
    $$
    Par indépendance de $V$ et $\bar{V}$ cela donne $\frac{A }{2} + \frac{B}{2j} = \frac{A }{2} - \frac{B}{2j} = 0$ et par suite $A=B=0$.

    C'est un bon exemple comme quoi le critère « il existe $k$ tel $u=kv$ » n'est pas commode pour montrer que $(u,v)$ est une famille libre...
  • Merci beaucoup pour ces précisions. Je m'en veux de ne pas avoir pensé à procéder comme ça.
    Mister Da
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