Constante de Champernowne

jeremyjeff
jeremyjeff
dans Analyse
Bonjour,
Je cherche à démontrer les propriétés remarquables de ce nombre :

Le réel dont le développement décimal est 0,12345678910111213... possède un développement décimal prévisible et non périodique.
Ce nombre construit en concaténant après la virgule tous les nombres entiers, est appelé constante de Champernowne
et possède des propriétés remarquables :
- (E1) C'est un nombre irrationnel .
- (E2) : C'est un nombre transcendant
- (E3): C'est un nombre univers : Dans son développement décimal , on peut trouver n'importe quelle suite finie de chiffre.
- (E4) : C'est un nombre normal en base 10 : Dans son développement décimal, toutes les suites finies de n chiffres sont équiprobables.
Autrement dit, si x1,x2,...,xn , est une suite de n chiffres et cp+1, ..., cp+n une suite de n chiffres consécutifs , pris au hasard dans le développement décimal du nombre de Champernowne , alors la probabilité que ces deux suites soient égales est : 1/10n

J'ai réussi à démonter (E1) : C'est un nombre irrationnel car son développement décimal est par définition non périodique.
et (E3) : C'est un nombre univers .

mais je sèche sur (E2) et (E4).

Avez-vous des indications de démonstrations ?

Merci

salutations

Réponses

  • christophe c
    christophe c
    Pour la transcendance, il est possible qu'il y ait un lien avec je ne sais plus comment ils s'appellent, les nombres de Liouville peut-être qui sont "trop proches des rationnels" pour être algébiruques

    En effet, je crois que les nombres algébriques non rationnels sont obligés d'être très loin** des rationnels.

    ** un truc du genre $\forall p,q$ dans $\Z$, $|x-p/q|>f(q)$ où $f$ est une fonction qui monte pas très vite, mais je me rappelle pas f (enfin je pense que je ne l'ai jamais connue d'ailleurs).

    Du coup comme ton nombre contient quand-même pas mal de "simulations de dvp périodiques" il est possible qu'il ne satiafait pas à ce critère.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Pour E4 c'est pas très dur à la rédaction près
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • jeremyjeff
    jeremyjeff
    Effectivement, pour (E4) la probabilité d'avoir xi = ai = 1/10, et le résultat coule de source.

    Mais pour (E2) , quelle valeur à la fonction f ?

    merci
  • christophe c
    christophe c
    Regarde ça: http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Liouville

    peut-être ça t'aidera
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Bruno
    Bruno
    Voir là.

    Bruno
  • Pilz3
    Pilz3
    Pour la transcendance, c'est Mahler qui l'a montrée il me semble. Après une opération du cerveau il a voulu se prouver qu'il pouvait encore faire des maths et a montré que les nombres de la forme 0,P(1)P(2)P(3)... étaient transcendant à certaines conditions sur le polynôme P.
  • jeremyjeff
    jeremyjeff
    Oui, c'est Kurt Mahler en 1961
  • Jimmy
    Jimmy
    C'est un nombre univers, car si tu situes une suite par rapport à sa valeur (1 est en 1ère position, 2 en 2ème position), tu as n qui se trouve en nème position, puis 1n en 1n ème position, mn en mn ème position, donc n'importe quelle suite de nombres (n) est présente dans cette constante une infinité de fois ! C'est la même raisonnement pour la normalité, je te laisse t'imprégner du principe de la méthode !
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