point fixe dans A_5

Sinon, on peut dire que le groupe engendré par $\alpha$ et $\beta$ contient des éléments d'ordre 2, 3, 5 donc est d'ordre multiple de 30, donc est d'ordre 30 ou 60. Or, $A_5$ ne possède pas de sous-groupe d'ordre 30, sinon ce sous-groupe serait distingué et $A_5$ ne serait pas simple.

Bonsoir Papythagore

Bon avec la concision et la rapidité de JLT, ma démonstration fait l'effet d'un éléphant dans un magasin de porcelaine
Comme tu me poses la question, je vais te montrer que $\frak A_5$ est engendré par deux sous-groupes d'ordre 5 distincts, même si l'éléphant continue de se débattre (:D.D'abord un sous-groupe d'ordre 5, appelons le $H$, est un 5-Sylow de $\frak A_5$. Le nombre de ces 5-Sylow est congru à $1\pmod 5$ et divise $\frac{60}5=12$, il ne peut être 1 (il serait distingué) c'est donc 6.
La classe de conjugaison de $H$ contient donc 6 éléments. Donc le normalisateur de $H$ est d'ordre $\frac{60}6=10$ (en faisant agir $\frak A_5$ par conjugaison sur l'orbite de $H$, on a la relation $|\frak A_5| = |Stab(H)|\times|Orbite(H)|$ et $Stab(H)$ est le normalisateur de $H$ dans $ \frak A_5$).
Le normalisateur est d'ordre 10. Mais un groupe d'ordre 10 admet toujours un unique 5-Sylow ($n_5$ divise $\frac{10}5=2$ et est congru $1\pmod 5$, donc $n_5=1$).
Donc ce normalisateur contient un unique sous-groupe d'ordre 5, qui va être notre $H$ et il ne peut pas contenir d'autre sous-groupes d'ordre 5. C'est-à-dire qu'il y a 6 normalisateurs d'ordre 10, autant que de 5-Sylow.

Et chacun de ces normalisateurs ne peut pas être contenu dans un sous-groupe d'ordre 30 (qui serait distingué dans $\frak A_5$), ni dans un sous-groupe d'ordre 20.
En effet, un groupe d'ordre 20 a toujours un 5-Sylow distingué ($n_5$ divise $\frac{20}5=4$ et est congru $1\pmod 5$, donc $n_5=1$) donc ce groupe d'ordre 20 serait normalisateur de $H$ dans $\frak A_5$ (or on vient de voir que le normalisateur de $H$ dans $\frak A_5$ est d'ordre 10).
Finalement dans $\frak A_5$, deux 5-Sylow distincts sont chacun séparément, contenus dans deux diédraux distincts d'ordre 10, qui sont directement contenus dans $\frak A_5$.
Le plus petit sous-groupe commun à ces deux 5-Sylow distincts est $\frak A_5$ lui-même. Ces deux 5-Sylow distincts engendrent donc $\frak A_5$ en entier.

Alain

paspythagore a écrit:

est-ce que tout groupe d'ordre $60$ est simple?

En réfléchissant 5 minutes, ne peux-tu répondre toi-même à cette question? Quel groupe d'ordre 60 connais-tu ? (pense à l'exemple le plus évident que tu connaisses) . Penses-tu qu'il est simple?

paspythagore a écrit:

Le normalisateur de $ H$, c'est l'ensemble des éléments qui commutent avec $ H$ ?

ça dépend ce que tu entends par ça. C'est l'ensemble $N_G(H)$ des $g\in G$ tel que $gHg^{-1}=H$.

paspythagore a écrit:

Le stabilisateur est le sous-groupe d'éléments laissant ceux de $ H$ invariant par translation ?

Non, c'est le sous-groupe des éléments dont l'action stabilise $H$. Ici l'action est l'action par conjugaison.
Donc $Stab_G(H)=N_G(H)$ ($G=A_5$).

paspythagore a écrit:

et comment en déduis-tu que
$ \vert\frak A_5\vert = \vert Stab(H)\vert\times\vert Orbite(H)\vert$

là, il faut apprendre ton cours.

paspythagore a écrit:

Je ne comprends pas ce que cela veut dire.
Qu'est ce qu'un diédral ?

Un groupe diédral. Tu as dû forcément voir ça comme exemple de groupes. Par exemple, on a pu te les présenter comme groupe des isométries du plan laissant invariant un polygone régulier.