critère de Li

ils vont bien par quadruplets dans la somme, c'est ça ?

si $\rho$ est sur la droite critique il n'y a pas de différence entre $\overline\rho$ et $1-\rho$. On a:
$$\lambda_n = \sum_{\rho} \left(\frac n\rho - \frac{n(n-1)}{2\rho^2} + \cdots + (-1)^{n-1}\frac1{\rho^n}\right)$$
et ce sont des séries absolument convergentes sauf la première $\sum\frac1\rho$. On la réécrit sous l'une des deux formes
$$\sum_{\Im\rho>0} \left(\frac1\rho+ \frac1{\overline\rho}\right)\qquad \sum_{\Im\rho>0} \left(\frac1\rho+\frac1{1-\rho}\right)$$
Dans les deux cas cela donne des séries absolument convergentes. Je préfère un peu celle avec $1-\rho$ car
$\frac1\rho+\frac1{1-\rho} = \frac1{\rho(1-\rho)}$ est plus sympathique que $\frac{2\Re(\rho)}{|\rho|^2}$. Il est vrai cependant que la deuxième forme est réelle positive.

ce n'est pas trivial bien sûr mais est obtenu dès que l'on développe un peu la théorie de la fonction zêta. Par exemple lorsque l'on applique la théorie de Hadamard sur les fonctions entières d'ordre fini, on commence par montrer des majorations sur zeta d'où la propriété sur les zéros découle via les théorèmes généraux de Hadamard. Ou alors on peut carrément dire que l'on sait qu'il y a environ cTlogT zéros jusqu'à la hauteur T, disons au plus K TlogT pour K une certaine constante et T plus grand que 10. On prend alors T = 2^n et on estime la somme des inverses des carrés entre 2^n et 2^{n+1}. Cela donne une série convergente.

re

toute somme infinie est définie comme une limite de somme finie; bien sûr ici on prend pour sommes partielles celles prises avec les $\rho$ dans les rectangles $0\leq\Re\rho\leq1$, $|\Im\rho|\leq T$, pour des $T$ de plus en plus grands. Dans une somme finie je peux regrouper les termes comme je veux, donc mettre ensemble $\frac1\rho$ et $\frac1{\overline\rho}$ ou $\frac1\rho$ et $\frac1{1-\rho}$. La seule chose c'est qu'une fois cela fait, on s'aperçoit que l'on a deux séries absolument convergentes. Si l'hypothèse de Riemann est fausse il y a des $\rho$ avec $1-\rho\neq\overline\rho$ et donc on a alors deux séries apparemment (un tout petit peu, car après tout on avait juste 4 termes qu'on a regroupés en 2+2 de deux manières différentes) différentes, mais leurs sommes sont identiques car leurs sommes partielles sont identiques. Évidemment je peux obtenir des sommes partielles différentes en sommant plus finement, c'est-à-dire en numérotant les racines de partie imaginaire positive de manière à respecter la croissance de la partie imaginaire, et alors j'aurais certaines sommes partielles différentes.

Bref, le mot «série» n'est pas strictement limité à ce qu'on peut en dire dans tel ou tel manuel: car une «série» c'est une suite, mais où chaque terme de la suite est vu comme étant obtenu du précédent en lui ajoutant quelque chose (une série c'est une suite dans laquelle l'addition joue un rôle de définition), ce quelque chose peut lui-même être une somme, il n'a pas à être réduit à un seul élément.

En théorie des nombres, lorsque l'on somme sur les zéros, on n'a pas besoin d'imaginer avoir numéroté les zéros. C'est même absurde car au final ces sommes apparaissent dans des calculs de résidus, c'est dans l'ensemble des pôles dans un certain domaine qui doit être énuméré et il n'y a pas vraiment de manière absolument canonique de le faire (il y a bien sûr des manières de le faire, mais c'est un choix). De plus on n'a pas toujours intérêt à prendre des contours qui ne diffèrent des précédents qu'en englobant seulement 1 nouveau pôle.

Ce qui est triste de nos jours c'est que les séries, que l'on devrait enseigner au plus tard en seconde, sont à peine connues des étudiants qui entrent en master (qui d'ailleurs ne connaissent pas non plus l'orthographe et la syntaxe de la langue française) (oui, je ne suis pas un grand optimiste sur l'avenir de ce pays dans disons 30 ans)

gottfried a écrit:

je ne suis pas un grand optimiste sur l'avenir de ce pays dans disons 30 ans

Moi non plus, mais il n'y a pas besoin d'aller chercher si loin : nous sommes déjà dans le pétrin, et chaque jour qui passe apporte son lot de farine supplémentaire...

Gottfried a écrit:

Ce qui est triste de nos jours c'est que les séries, que l'on devrait enseigner au plus tard en seconde,

Bizarre ! Dans aucun pays on ne les enseigne aussi tôt. Plutôt 3 ou 4 ans après, et seulement pour les étudiants qui ont besoin d'une formation scientifique.

Tu devrais aller voir le monde, Gottfried.

Cordialement.

NB : Si tu t'inscrivais (ça ne coûte rien, et évite que quelqu'un d'autre dise des âneries sous ton pseudo) tu pourrais rectifier ce genre d'affirmation non réfléchie.

Ah,

j'aurais dû le voir !!
Mais je survole généralement ses messages, pas par désintérêt, mais pour niveau mathématique insuffisant (je n'ai vu les séries qu'en fin de première, et tout seul, sans bien comprendre).

Cordialement.

NB : Je barre.