Fonction bornée

Bonjour
Je suis entrain de faire un sujet de concours.
Je n'arrive pas à faire la question suivante:
Soit F(x)= integrale entre 0 et x de t^(a-1)/(1+t^3) dt.
Démontrer que pour 0<a<3, F est bornée sur ]0,+inf[ .
Avez vous des indications?

Merci infiniment.
«1

Réponses

  • N'y aurait-il pas dans l'air la convergence d'une intégrale impropre ?
  • Merci Meu.
    Donc il faut etudier le limite quand x tend vers l'infini de F. Dans ce cas il faut chercher une primitive de la fonction à intégrer je pense....
  • Bonjour.

    Non, car tu ne trouveras pas de primitive. Mais Meu t'a donné la bonne idée.
    As-tu appris la notion d'intégrale généralisée ? Et compris ce qui se passe quand la fonction à intégrer est positive ?

    Cordialement.
  • Il y a aussi un problème de convergence de l'intégrale en 0. Et puis chercher une primitive ne me semble pas vraiment une bonne idée. Il y a tout de même d'autres moyens de s'assurer de la convergence d'une intégrale impropre !
  • Merci Gerard0
    L'exercice à été posé avant le cours sur les intégrales impropres.

    puis que f est positive, un équivalent à t^(a-1)/(1+t^3) = o(1/t^2) au voisinage de +inf
    or intégrale de 1/t^2 converge donc intégrale de f converge .

    reste je pense le pb en 0
  • t^(a-1)/(1+t^3) = o(1/t^2)

    Ce n'est pas correct puisqu'on a seulement a < 3
  • Merci

    f(x) est équivalente à 1/t^(4-a). Or 4-a>1 donc l'integrale entre 1 et +inf converge.
  • Et en 0?
  • Et en 0 que penses tu de t^(a-1) sachant que a-1>-1 ?
  • Si l'intégrale généralisée F est convergente, pourquoi F serait bornée svp ?

    merci
  • Bonjour Cra.

    Que veut dire "l'intégrale est convergente" ?
    F étant continue, que peut-on en déduire ?

    Cordialement.
  • l'intégrale est convergente i.e f(x)< infinie pour tout x puis je ne sais comment conclure avec la continuité? merci
  • Non !

    Revois la définition de la convergence des intégrales généralisées.
  • signifie l'intégrale du point a à x de f(x) est finie quand x tend vers + l'infini?
  • de l'aide svp Gerard merci
  • Tu n'as pas besoin que je l'écrive. Seulement de la lire. dans ton cours. Ou dans tes livres de maths. Ou sur Internet. Et de l'apprendre, puisque tu en as besoin.

    Bouge-toi !
  • j'ai cherché sur Wiki et ma définition est bonne, je ne vois pas comment conclure pour obtenir la bornitude ; si je fournis pas d'efforts , je serai coupable de demander de l'aide mais si je réfléchis mais vainement , il est de mon droit d'avoir ne serait ce qu'une indication ou réponse , à moins que vous aimez voir des gens stagner
  • Bonsoir, Soit F(x)= integrale entre 0 et x de t^(a-1)/(1+t^3) dt.
    On doit montrer que pour 0<a<3, F est bornée sur ]0,+inf[ .


    Si l'intégrale généralisée F est convergente, pourquoi F serait bornée svp ?

    [Restons dans le fil où tu as déjà entamé la discussion. AD]
  • Déjà, est-ce que tu sais ce que signifie la convergence de l'intégrale généralisée ?
  • Non, il ne le sait pas (voir "fonction bornée"), et ne cherche pas une définition, ou bien est même incapable de la recopier.

    Ce fil est un doublon de "fonction bornée".
  • ben c'est que l'intégrale de 0 à x de .......... tend vers une limite finie quand x tend vers + l'infini et avec la continuité de F, gerard m'avait dit qu'on pouvait voire devait conclure, mais je ne vois pas , dsl et merci d'avance.
  • Si $H$ est une application continue de $[0,+\infty[$ dans $\R$ qui admet une limite en l'infini, alors $H$ est bornée. Sais-tu montrer cela ?
  • Tiens, ça y est !

    Enfin la définition ! 9 heures et 6 réponses de ma part pour qu'enfin tu te décides ...

    Quel rapport entre "l'intégrale de 0 à x de ..." et F(x) ?
  • vous avez reçu ma réponse, elle a disparue...?

    [Tu as dû l'envoyer pendant que je fusionnais les discussions. Reposte la. AD]
  • Bonjour, merci Dé ; oui avec votre Théorème, on peut conclure car la fonction F sera majorée par l +epsilon et minoré par l-epsilon; cela dit, le vrai énoncé c'est Si $ H$ est une application continue et monotone de $ [0,+\infty[$ dans $ \mathbb{R}$ qui admet une limite en l'infini, alors $ H$ est bornée. or ici comme F est sous forme d'intégrale de f(positive) entre 0 à x , on a que F est croissante (donc monotone), n'est ce pas?

    Merci @ vous
  • cra écrivait:
    > peut conclure car la fonction F sera majorée par l
    > +epsilon et minoré par l-epsilon;

    Qui est I ? Qui est epsilon ?

    > cela dit, le
    > vrai énoncé

    Non, ce que j'ai dit est vrai, mais il te reste à le démontrer visiblement.
  • Bon courage, Dé !
  • Ben soit F est une fonction continue , si f tend vers l(réel) vers + l'infini , on a pour tout epsilon >0, il existe un x0 tel que pr tout x>=x0 , |f(x)-l| <=epsilon i.e l-epsilon<=f(x)<=l+epsilon


    PS: où utilise vraiment la continuité? je dirai c'est nécessaire car sinon .... je le vois graphiquement mais ne peux bien l'exprimer"analytiquement" , merci

    gerard à défaut d'être patient, laissez d'autres l'être
  • Gérard t'a déjà beaucoup aidé.

    Tu n'as pas montré qu'elle était bornée. Regarde la définition de fonction bornée si tu l'as oubliée.
  • Une fonction est bornée si elle est majorée et minorée ou aussi si il existe un réel M tel que pour tout x , on ait : |f(x)|<=M .

    je ne vois pas pourquoi j'ai pas démontré le résultat puisque j'ai montré qu'elle est majorée et minorée pour tout x ? merci
  • cra écrivait:
    > j'ai montré qu'elle est majorée
    > et minorée pour tout x ? merci

    Non.
  • what?


    on a pour tout epsilon >0, il existe un x0 tel que pr tout x>=x0 , |f(x)-l| <=epsilon i.e l-epsilon<=f(x)<=l+epsilon
  • Bah... compare ce que tu as obtenu avec la définition que tu as rappelé pour "fonction borné" et tu verras que ce n'est pas la même chose. Sinon c'est que tu ne comprends pas ou la définition ou ce que tu as montré.
  • Une fonction est bornée si elle est majorée et minorée


    on a pour tout epsilon >0, il existe un x0 tel que pr tout x>=x0


    l-epsilon<=f(x)<=l+epsilon

    autrement dit f est majorée par l+ epsilon et minorée par l-epsilon autrement dit, elle est bornée, franchement je ne vois pas où est le souci
  • Dire de $H:[0,+\infty[\to\R$ qu'elle est majorée c'est dire qu'il existe $M$ tel que, pour tout $x \in [0,+\infty[$, on ait $-M \le f(x) \le M$.

    Vois-tu maintenant la différence ?
  • franchement, je désespère...


    elle peut être bornée par M en terme de majorant et N en terme de minorant? cos(x) sur [0,pi/2] est borné par 0 et 1 ; bref , merci quand même
  • 1) il existe $M \ge 0$ tel que, pour tout $x \in [0,+\infty[$, on ait $-M \le f(x) \le M$.
    2) pour tout $\epsilon>0$ il existe $x_0 \ge 0$ et $M \ge 0$ tel que pour tout $x \in [M,+\infty[$ on ait $-M \le f(x) \le M$.

    Toujours pas ?
  • déjà votre 2) signifie que lim pr x tendant vers + l'infini , f est bornée ; et pr ma rédac , je n'ai qu'à prendre x0 dans [0,+infini[ et comme x >=x0 , j'aurai x positif voire ds l'intervalle souhaité

    merci sincèrement pr vos efforts, mais j'avais rédigé la démo comme ceci et le prof ne m'avait rien dit, je ne vois pas ce qui"buggue" dsl et merci
  • Illisible.
  • Ce qui buggue c'est que tu veux prouver que ta fonction est bornée sur l'intervalle $[0,+\infty[$ et que tu ne le montre que sur un certain intervalle $[M,+\infty[$. Que se passe-t-il sur $[0,M]$ ?
    En appliquant ton raisonnement pour $\displaystyle x\mapsto \frac1x$ sur $]0,+\infty[$, je peux montrer qu'elle est bornée sur $]0,+\infty[$ (puisqu'elle tend vers $0$), ce qui est complétement faux.
  • ok ben sur [0,M] elle est continue sur un compact donc bornée
  • C'est bon?
  • Les idées ont l'air d'être toutes là, mais ça serait bien de proposer une rédaction complète et propre.
  • Sur [0,M] , F est continue donc bornée

    Sur [M, + infini[,F tend vers l(réel) en + l'infini , on a pour tout epsilon >0, il existe un réel M tel que pr tout x>=M , |f(x)-l| <=epsilon i.e l-epsilon<=f(x)<=l+epsilon i.e f est bornée sur [M, + infini[ donc F est bornée sur [0,+ infini [
  • "Sur $[M,+\infty[$, ......, il existe un réel $M$"

    Ce n'est pas, mais alors pas du tout ce que j'appelle une rédaction correcte.
  • il existe un réel x0>=M tel que pour tout x >=x0....
  • OK, et sur $[M,x_0]$ il se passe quoi ?
  • ben c'est continue sur un compact lol; on dirait une boucle infinie là, dsl mais j'ai l'idée en gros mais il y a une certaine subtilité qui m'échappe , merci beaucoup
  • C'est bien ce que je disais il y a 7 messages, tu as des petits bouts de raisonnement mais tu n'as toujours pas mis en forme une vraie démonstration. Je pense que ce serait un bon exercice pour toi de mettre les morceaux dans le bon ordre, et de proposer une version intégralement rédigée. Mais après tu fais ce que tu veux.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.