homothéties ou pas ?

Bonsoir,

On me demande de résoudre l'exercice suivant :
"On sait que pour toute application linéaire u d’un espace vectoriel de dimension finie qui vérifie (pour tout x de E, il existe t de K tel que u(x) = t x), il existe k de K tel que pour tout x de E, on a u(x) = k x.

Est-ce le cas d’une application non linéaire ?"

La seule réponse qui me vient : a priori c'est faux : il suffit de considérer une application en escalier f de R dans R, définie sur R tout entier et telle que f(0)= 0. Une telle application satisfait à la condition demandée et n'est pourtant pas une homothétie...

Comment faire dans un espace de dimension supérieure ?

merci d'avance de votre attention
tchoc

Réponses

  • Pour toute application u de E dans E qui vérifie $u(0)=0$ on a la propriété:

    Pour tout x de E, il existe t de K tel que $u(x) = tx$

    Si x est non nul on prend $t=\dfrac{u(x)}{x}$
    Si x est nul , n'importe quelle valeur peut être choisie pour t.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Par contre:

    S'il existe k de K tel que pour tout x de E, on a $u(x) = k x$
    alors u est une application linéaire.

    Le k ne dépend pas de x.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Bonjour fin de partie et merci de ta réponse

    mais je ne comprends pas très bien...:

    1/ quand tu dis t = k(x)/x...car dans cet exercice t est un scalaire du corps commutatif K.

    2/ De plus, dans dans un ev E (sur K) de dimension finie (supérieure à 2, c'est ma question), qu'entends tu par u(x)/x ?

    3/ ou alors il faut supposer que E=K=R (ou C)...et on se ramène, au contre exemple que j'ai proposé...

    je cherche à savoir ce qui se passe en dimension supérieure à 3...

    amicalement
    tchoc
  • Salut,

    Une autre idée pour construire une application de $E$ dans $E$ telle que $u(x)$ est colinéaire à $x$ pour tout $x$ et qui ne soit pas une homothétie : tu prends n'importe quelle fonction $\lambda \, : \, E \to \R$, non constante sur $E \setminus \{0_E\}$ (par exemple une norme sur $E$, c'est facile à fabriquer si $E$ est de dimension finie) et tu poses $u(x)=\lambda(x)x$.
  • merci beaucoup egoroffski !!! c'est limpide...

    amicalement
    tchoc
  • tchoc:
    Tu as raison je me suis laissé un peu emporté.

    Ce que je voulais dire est qu'il faut faire attention à la place des quantificateurs.

    Dans:
    pour tout x de E, il existe t de K tel que u(x) = t x

    le t dépend de x, le "il existe" est après "pour tout".

    Dans une homothétie vectorielle, le coefficient multiplicatif ne dépend pas de x.

    En espérant ne pas avoir écrit (trop) d'énormités.
  • Je t'en prie Tchoc (tu)

    D'accord avec toi FdP, mais justement ce qui est remarquable c'est que la linéarité permet d'intervertir le $\forall$ et le $\exists$ ; c'est l'énoncé cité dans le premier post de Tchoc.
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