Une jolie équation diophantienne

Bonsoir,

Après tant d'années, j'ai décidé de revenir régulièrement sur ce forum car cela me manque énormément.
J'y ai trouvé de bons amis et appris beaucoup de choses, alors pourquoi arrêter....

Ce soir je vous propose une équation coriace pour les amateurs d’équations:

Démontrer que l’équation $ (u+v+t)^3=24uvt$ n'a de solutions dans $\Z$ que si $uvt=0$

Al-kashi

Réponses

  • Bonjour,

    On sait que : $$(u+v+t)^3 -(-u+v+t)^3 -(u-v+t)^3-(u+v-t)^3=24uvt$$
    et l'énoncé est équivalent à : $(-u+v+t)^3 +(u-v+t)^3+(u+v-t)^3 =0$

    que l'on peut réécrire sous la forme $a^3+b^3=c^3$, on en déduit

    par exemple que $a=0$ et $b=c$ d'où $u-v+t=-(u+v-t)$, soit $u=0$.
  • Joli Cidrolin, je pensais que mon équation allait tenir plus longtemps mais bon :-)
  • Bonjour,

    Pour l'égalité : $(u+v+t)^3 -(-u+v+t)^3 -(u-v+t)^3-(u+v-t)^3=24uvt$, il n'est pas nécessaire

    de développer. On nomme le premier membre $f(u;v;t)$. C'est un polynôme de degré $3$,

    symétrique et tel que $f(0;v;t)=0$ donc $f(u;v;t)=\lambda uvt$. Puisque $f(1;1;1)=24$,

    on a $\lambda=24$.
  • Bonsoir,

    Mon équation n'ayant pas fait long feu, je viens d'en trouver une encore plus coriace qui devrait elle bien résister aux tentatives de nos pro tels Cidrolin :-)

    Démontrer que $\dfrac{10j^3-i^6}{6}$ n'est jamais un carré sauf si $i=0$ ou $i^2=j$


    Al-kashi
  • Juste un aficionado, pas un pro,

    et je vous avoue Al-Kashi,

    n'avoir pas mérité

    ni cet excès d'honneur

    ni cette notoriété.


    Cordialement

  • Je suppose qu'il faut comprendre le carré d'un entier naturel?

    Si tel est le cas alors pour que 2 divise $10j^3-i^6$ il faut et il suffit que i soit pair.

    Donc si $i^2=j$ et si i est impair $\dfrac{10j^3-i^6}{6}$ ne sera même pas un entier donc à fortiori ne sera pas non plus le carré d'un entier.

    En espérant ne pas avoir écrit (trop) d'énormités.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Salut fin de partie,

    Dans ton raisonnement, tu ne traites que le cas $i^2=j$.


    Amicalement,

    Al-Kashi
  • Je n'ai rien compris à la remarque précédente.

    $10j^3$ est pair quelque soit j. Pour que $10j^3-i^6$ le soit aussi il faut que $i^6$ le soit également donc i doit être pair.

    $i^2=j$ ne garanti pas que i est pair.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Bonsoir,

    Afin que cela soit plus clair, pourrais-tu, si tu penses avoir trouvé, mettre très clairement la résolution de cette équation.
    Car moi non plus je n'ai pas encore vu la preuve.

    Al-Kashi
  • Al-Kashi:

    Je ne prétends pas avoir une solution je souligne seulement le fait que l'énoncé est incorrect.

    Je recopie l'énoncé que tu as donné:

    Démontrer que $\dfrac{10j^3-i^6}{6}$ n'est jamais un carré sauf si $i=0$ ou $i^2=j$

    Le "sauf" signifie pour moi (les mots ont un sens) que si on prend i,j qui vérifient $i^2=j$ on devrait avoir une solution.
    Un argument très élémentaire indique que si i n'est pas supposé pair alors
    $\dfrac{10j^3-i^6}{6}$ n'est même pas un entier et donc ne peut pas être le carré d'un entier.

    J'espère que c'est clair maintenant.
  • Bonjour Fdp,

    Oui tu as raison, au temps pour moi il y a bien une erreur.

    Je redonne donc le bon énoncé.J'ai un doute mais je crois d'ailleurs l'avoir déjà proposé.
    Mais avant, je rappelle que l'exercice est assez costaud et risque de vous faire perdre pas mal de temps.
    Donc à ne faire que pendant une pause café : - )


    Soit $i$ et $j$ deux entiers non nuls tels que $i^6 \ne j^3$

    Démontrer que $\dfrac{4j^3-i^6}{3}$ n'est jamais un carré.

    Al-Kashi
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.