H55: le 25 octobre 2011 à 1 heure du matin ..

... il y a deux cents ans exactement à Bourg-la-Reine, etc, etc. Prière de compléter et de rendre hommage au jeune homme de deux cents ans aujourd'hui. Bien amicalement. N.V.

Réponses

  • Naissance d'Evariste Galois, bien sûr!

    {\bf Hommage 1: }Soit $p$ un nombre premier, et soit $L=\Q(\sqrt[4]{p},i)$. Montrer que $L/\Q$ est galoisienne, et donner sans calculs la structure de son groupe de Galois.

    {\bf Hommage 2: }Soit $p$ un nombre premier, et soit $P=X^4+pX-p$. Enfin, soit $\alpha\in\C$ une racine de $P$. Montrer que $\alpha$ n'est pas constructible à la règle et au compas.

    Quels sont les sous-corps de $\Q(\alpha)$ ?
  • Célébrons en effet ce jour comme il se doit! Norbert est trop modeste pour mentionner le Hors-Série de pour la Science suivant http://www.pourlascience.fr/ewb_pages/l/librairie-galois-26671.php

    Parmis les choses très récentes que j'ai repéré:
    - un bon article d'introduction aujourd'hui sur images des maths http://images.math.cnrs.fr/Soit-G-un-groupe.html
    - j'ai vu que le CNRS a fait un film mais il faut l'acheter, par contre si vous allez ici http://videotheque.cnrs.fr/index.php?urlaction=doc&id_doc=2839 on peut cliquer en haut à droite sur "visionner l'extrait"

    Et de fil en aiguille, j'ai aussi vu que les manuscrits de Galois ont été scannés en 4 fichiers pdf ici http://www.bibliotheque-institutdefrance.fr/numerisation/ mais c'est sans doute plus ancien, la résolution n'est pas terrible, j'espère qu'un jour tout sera en haute définition et en couleurs.

    (Sinon question: quelqu'un est-il déjà allé à l'expo à Paris à l'IHP? http://www.galois.ihp.fr/manifestations/exposition-bibliotheque-ihp/ Si oui est-ce certains manuscrits sont visibles? Merci. )
  • Bon anniversaire Evariste !

    Au moyen-âge il parait qu'on ne fêtait/célébrait/commémorait qu'uniquement l'anniversaire des morts.
  • Pour Ptolemee, à l'exposition Galois à l'IHP il n'y a pas de manuscrit de Galois( trop difficile à sortir sans doute de la Bibliothèque de l'Institut de France, aujourd'hui) mais cela vaut le coup d'aller la soir pour situer Galois "dans son temps". Amicalement. Norbert.
  • Bonjour,

    Sont nés également en 1811, mais pas obligatoirement le 25 octobre:
    Urbain Le Verrier et John (et non Johnny) von Neumann, mais aussi Théophile Gautier et Franz Liszt.

    Rappel: Le timbre émis par la République Française en 1984 (pourquoi d'ailleurs en 1984 ?):

    Hommage 3: Exhiber un polynôme $P$ (si possible de plus petit degré) dont le groupe de Galois est isomorphe à l'un des quatorze groupes d'ordre inférieur ou égal à 8 et ce pour chaque groupe.

    Exemple: le groupe de Galois de $X^2-2$ est $S_2 \cong \Z/2\Z$, celui de $X^3-3X+1$ est $\Z/3\Z$,...

    [Edit: le "von" a été barré suite aux remarques pertinentes d'egoroffski et d'ev ci-dessous, merci à tous ceux qui suivent...Il est vrai que von Neumann né en en 1811, ça paraissait bizarre...maintenant, ce John Neumann (sans "von") n'est pas particulièrement célèbre.]

    Amicalement.21262
  • L'hommage 1 de Greg répond partiellement à l'hommage 3 puisque le groupe de Galois de $P$ est le groupe des isométries du carré $\{\sqrt[4]{p},i\sqrt[4]{p},-\sqrt[4]{p},-i\sqrt[4]{p}\}$ donc est isomorphe à $D_4$.
  • @ JLT (tu) une démo ?

    Je complète un peu la liste de bs avec quelques cas faciles:

    groupe de Klein: $X^4-10X^2+1$

    $S_3: X^3-X-1$.

    Effectivement, $D_4: X^4-2$, par exemple

    $\Z/4\Z: X^4+X^3+X^2+X+1$

    $\Z/4\Z\times\Z/2\Z: X^8+1$

    Pour les autres, faut se fatiguer un peu plus, et là, j'ai un peu la flemme...
  • En v'là d'autres:

    $(\Z/2\Z)^3: $ $X^8-40X^6+352X^4-960X^2+576$

    $Q_8: $$X^8-24X^6+108X^4-144X^2+36$

    $\Z/6\Z: X^7+X^6+X^5+X^4+X^3+X^2+X+1$.


    Reste $\Z/n\Z$ avec $n=5,7,8$.

    Pour $n=8$, c'est facile, on peut prendre le polynôme minimal de $\zeta_{32}+\zeta_{32}^{-1}$, mais j'ai un gros poil dans la main.
  • Démo pour l'hommage 1 :

    $L$ est le corps de décomposition de $P=X^4-p$. En effet, $P$ est scindé sur $L$, et réciproquement comme $i=(i\sqrt[4]{p})/\sqrt[4]{p}$, $L$ est engendré par les racines de $P$.

    Le polynôme $P$ est irréductible (Eisenstein) donc $\Q[\sqrt[4]{p}]$ est de degré 4 sur $\Q$, et donc $L$ est de degré 8 sur $\Q$. On en déduit que le groupe de Galois de $P$ est d'ordre 8.

    Le groupe de Galois $G$ agit fidèlement sur les 4 racines de $P$ qui forment un carré, donc il suffit pour des raisons de cardinalité de montrer qu'il est un sous-groupe $D_4$ du groupe des isométries du carré.

    Soit $\sigma\in G$. Soit $\tau$ la conjugaison complexe (dont l'action sur le carré correspond à une symétrie, donc $\tau\in D_4$).

    Si $\sigma(i)=i$, on a $\sigma(\omega)=\omega$ pour toute racine quatrième de l'unité (puisque $\omega$ est une puissance de $i$) donc $\sigma(\omega z)=\omega\sigma(z)$ pour toute racine de $z$ de $P$. On en déduit que $\sigma$ agit sur le carré comme une rotation, et donc que $\sigma\in D_4$.

    Si $\sigma(i)=-i$, alors $\sigma\circ\tau$ vérifie la condition précédente, donc $\sigma\circ\tau\in D_4$, et par suite $\sigma\in D_4$.
  • Je donne la démo que j'avais en tête, et qui utilise la correspondance de Galois.

    L'extension $L/\Q$ est galoisienne de degré $8$, comme l'a remarqué JLT.
    Son groupe de Galois est un groupe d'ordre $8$, qui contient un sous-groupe strict non distingué, car la sous-extension $\Q(\sqrt[4]{p})/\Q$ n'est pas galoisienne. Or, le seul groupe d'ordre $8$ vérifiant cette propriété est $D_4$.
  • Bon, voici un polynôme de groupe de Galois $\Z/8\Z$ (sauf erreur): $X^8-8X^6+20X^4-16X^2+2$
  • Re,

    (tu) Greg, quelle dextérité pour trouver tous ces polynômes ! Doit y avoir un truc et du savoir-faire.

    Existe-t-il une commande Maple qui donne le groupe de Galois d'un polynôme quand on écrit ce polynôme ?

    Amicalement.
  • Oui, la commande... "galois" ;)

    Avec ma vieille version de Maple, ça ne marche que pour les polynômes de degré strictement inférieur à 8.

    Si tu tapes infolevel[galois]:=2; avant, tu as les détails du calcul.
  • Salut BS,
    bs a écrit:
    Sont nés également en 1811, mais pas obligatoirement le 25 octobre:
    Urbain Le Verrier et John (et non Johnny) Von Neumann,

    :S:S:S
  • C'est sans doute John Neumann mais sans le von. La sainteté ne donne pas droit à la particule. Il est donc préférable de l'acheter de son vivant.

    amicalement,

    e.v.

    Quel farceur ce Bernard !.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Bien vu Ev ! C'est donc un contemporain de John Nash.
  • Ah mais c'est dingue : on s'aperçoit que John Neumann et John Nash étaient aussi à la NBA (en plus de jouer au foot pour le second) !
  • Bon, avec toutes ces révélations, j'ai vérifié et il semble qu'Evariste Galois n'ait jamais joué au basket. En tout cas au niveau pro. Ouf.
  • Je dévoiles les "trucs" que j'ai utilisé.

    Tout d'abord, si $L/\Q$ est galoisienne de degré $n$, et si $\theta\in L$ est tel que $\sigma(\theta)\neq \theta$ pour tout $\sigma\in Gal(L/\Q),\sigma\neq Id_L$, alors $\theta$ est un élément primitif et on a

    $Irr(\theta,\Q)=\prod_{\sigma\in Gal(L/\Q)}(X-\sigma)$.

    ça m'a servi pour les $2$-groupes abéliens élémentaires et pour $Q_8$.

    On sait aussi que le groupe de Galois du $n$-ième polynôme cyclotomique $\phi_n$ est $(\Z/n\Z)^\times$.

    ça règle donc le cas de $\Z/4\Z=(\Z/5\Z)^\times, \Z/6\Z=(\Z/7\Z)^\times$ et $\Z/2\Z\times \Z/4\Z=(\Z/16\Z)^\times$.

    De plus, le sous-groupe isomorphe à $\Z/2\Z$ de $(\Z/2^r\Z)^\times $ est engendré par $-1$. Du point de vue automorphisme de $\Q(\zeta)/\Q$, cela revient à envoyer $\zeta$ sur son inverse. Le sous-corps fixe est galoisien, de groupe de Galois isomorphe à $\Z/2^{r-1}\Z$, et un élément primitif est $\zeta+\zeta^{-1}$. ça règle le cas $\Z/8\Z$.

    Pour $D_4$, j'ai expliqué ça plus haut. Enfin ,un polynôme de degré $3$ a un groupe de Galois isomorphe à $\Z/3\Z$ si son discriminant est un carré, et $S_3$ sinon. Cela explique l'exemple de bs ainsi que le mien.

    Il reste le cas des groupes cycliques d'ordre $p=5$ et $7$.

    Pour cela, il suffit par exemple de considérer $\Q(\zeta_{p^2})/\Q$, puis de prendre le sous-corps fixe par l'élément d'ordre $p-1$, en trouver un élément primitif, et calculer son polynôme minimal par l'astuce ci-dessus. J'ai la flemme...
  • Re,

    Merci d'avoir relevé cette confusion entre les John (von) Neumann, correction effectuée plus haut ;)

    Oui remarque mais James Naismith n'a inventé le basket-ball qu'en 1891, Evariste était décédé depuis longtemps.

    Merci Juge Ti pour la commande "galois(polynôme)" de Maple.

    Merci Greg pour toutes tes explications détaillées.

    Amicalement.
  • Bon, j'ai fait le calcul: ça donne $X^5-10X^3+5X^2+10X+1$ pour $\Z/5\Z$

    et $X^7-21X^5-21X^4+91X^3+112X^2-84X-97$ pour $\Z/7\Z$.

    Ce qui clôt l'hommage $3$ !Et mon hommage $2$, alors???
  • Je ne vois pas pour l'hommage 2 mais j'écris quelques lignes pour que d'autres puissent terminer. Si $P(X)=X^4+pX-p$ on constate que $P'$ a une seule racine donc $P$ admet au plus 2 racines réelles, et que $P(0)<0$ donc $P$ admet exactement deux racines réelles. De plus, $P$ est irréductible (Eisenstein).

    Soit $K$ le corps de décomposition de $P$. On doit montrer que $[K:\Q]$ n'est pas une puissance de 2 ou, ce qui revient au même ici, que le groupe de Galois $G$ contient un 3-cycle.

    Supposons ce point démontré. Comme $K$ contient $\Q[\alpha]$, son degré sur $\Q$ est divisible par 4. Par ailleurs, $G$ est un sous-groupe de $S_4$ contenant un 3-cycle et une transposition (correspondant à la conjugaison complexe), donc $G=S_4$.

    Notons $\beta,\gamma,\delta$ les autres racines. $K[\alpha]$ correspond au sous-groupe $H$ de $G$ qui consiste en les permutations fixant $\alpha$. Comme $|H|=6$ et $|G|=24$, un groupe intermédiaire non trivial $H'$ ne peut qu'être de cardinal 12, donc $H'=A_4$, ce qui est impossible car $H\not\subset A_4$.

    On en conclut que $\Q[\alpha]$ n'admet pas de sous-corps non trivial.

    Pour que la démonstration soit complète il faudrait donc montrer que $G$ contient un $3$-cycle.

    Si $p\equiv -1\,[3]$ je peux le montrer en réduisant $P$ modulo 3 mais dans le cas général je ne vois pas.
  • Bon, je complète ma solution mais il y a peut-être plus simple. Supposons que $|G|$ soit une puissance de 2.

    On a $|G|\ne 4$ sinon $P$ serait décomposé sur $\Q[\alpha]$ où $\alpha$ est l'une des racines réelles, ce qui est impossible puisque $P$ admet des racines non réelles.

    Nécessairement, $G$ est un sous-groupe d'ordre 8 de $S_4$ donc est isomorphe à $D_4$. Plus précisément, on peut appeler $a,b,c,d$ les racines de sorte que $G$ soit engendré par $(a\;b\;c\;d)$ et $(b\;d)$.

    Soit $u=-(ab+bc+cd+da)=(a+c)^2$, et soient $v=(a+d)^2$ et $w=(a+b)^2$.

    En calculant $u+v+w$, $uv+vw+wu$ et $uvw$ (je passe des détails pénibles), on obtient que $u,v,w$ sont racines de $T^3+4pT+p^2$ (en espérant ne pas avoir fait d'erreur de calcul).

    Or, $u$ est invariant par $G$ donc est rationnel. Or, on montre par des techniques standard que $T^3+4pT+p^2$ n'admet pas de racines rationnelles. Contradiction.
  • Le Bicentenaire est l'occasion de mentionner plusieurs ouvrages autour de Galois. Je remercie Ptolemee d'avoir cité : "Galois, le mathématicien maudit" aux éditions Belin, réactualisation sous forme de livre du fascicule de "Pour la science".

    Signalons le livre:

    Caroline Ehrhardt, Évariste Galois. La fabrication d’une icône mathématique, Paris, EHESS, coll. « En temps & lieux », 2011, 304 p., ISBN : 9782713223174.

    C'est un travail fondamental permettant de "revisiter", et ainsi de "déconstruire" la légende Galois. Caroline a également publié plusieurs articles spécialisés sur Galois. Je les mentionnerai ultérieurement. Amicalement. Norbert.
  • Bravo, JLT !

    Je simplifie un peu tes arguments. Une racine de $P=X^4+pX-p$ sera constructible si et seulement si le groupe de Galois de $P$ est un $2$-groupe.

    Si $v$ et $w$ sont les deux racines réelles, alors $(v+w)^2$ est racine de $T^3+4pT+p$, qui est irréductible.

    Donc, la clôture galoisienne $L/\Q$ de $P$ contient une sous-extension de degré $3$. En particulier, $[L:\Q]$ n'est pas une puissance de $2$, et on a gagné.
  • ... à signaler également la sortie de l'ouvrage d'un des meilleurs lecteurs de Galois "dans le corps de texte": Peter M. Neumann (The Queen's College Oxford): "The mathematical writings of Evariste Galois", European mathematical Society, Hardcover, 2011. À faire acquérir par toute bibliothèque! Amicalement. Norbert.
  • À écouter sur franceculture.fr :

    http://www.franceculture.fr/emission-continent-sciences

    "Evariste Galois, mathématicien romantique" (émission du 31/10/2011).

    Jean-Yves Degos
  • Pour info,
    Je suis passé chez Gibert, Odéon, Paris, ce soir et j'ai trouvé le livre de Caroline Ehrardt sur Evariste Galois en occasion à 17 euros 10 et il y avait (au moins) un autre exemplaire au même prix. C'était vers 17h ce 18 novembre 2011.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
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