équation a deux inconnus

bonjour; je voudrais trouver les x et y qui résolvent l'équation suivante :
5x - 1 = 3 * 2y-1,     x, y € N
l'équation admet une solution particulière x=2 ; y=4
Pour trouver toutes les solutions, j'ai essayé ça : 5x-1 = (5-1)*(5x-1+...+1) J'ai remplacé et j'ai appliqué Gauss mais tous ce que j'ai obtenu c'est que 2/2y-1
Aidez-moi svp
Merci

[Carl Friedrich Gauss (1777-1855) mérite toujours une majuscule. AD]

Réponses

  • L'égalité que tu donnes est fausse, c'est $5^x-1$ et non $5^x$ qui devrait figurer dans l'un des membres.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • oui exacte; et sinon t'as une idée???
  • En étudiant $5^x$ modulo 3 on peut trouver une condition nécessaire et suffisante sur x, sans doute, pour que $5^x-1$ soit divisible par 3.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • On a:
    $5^1=-1 \mod 3$
    $5^2=1 \mod 3$

    $5^x-1$ est divisible par 3 lorsque x est un nombre pair et seulement dans ce cas.

    En espérant ne pas avoir écrit (trop) d'énormités.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Et bien sûr, $5^x-1$ est divisible par 4 puisque 5-1=4
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • On peut aussi montrer que pour x pair $5^x-1$ est divisible par 8 et que si x est multiple de 4 alors $5^x-1$ est divisible par 16.

    Or on peut montrer que $5^{4k}-1$ est divisible par 13.

    En espérant ne pas avoir écrit (trop) d'énormités.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • mais pour x=4 ça ne marche pas!
  • vrouvrou: qui dit le contraire? Pas moi.
    Relis ce que j'ai écrit précédemment.

    Ton problème est que tu es persuadé que ton équation doit avoir plusieurs solutions.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • alors comment prouver que x=2 et y=4 est la seul solution!
  • Que se passe-t-il si y>4 ?
  • y=5 ; y=6 ça ne marche pas! mais c'est pas une méthode de prendre la calculatrice est essayé de trouver une une solution!
  • Si y>4 alors x doit être multiple de 4 mais si x est multiple de 4 alors $5^x-1$ est multiple de 13.

    En espérant ne pas avoir écrit (trop) d'énormités.
  • Si (x,y) est un couple solution et si y>4 alors $5^x-1$ est divisible par 16.

    Mais si on calcule $5^z-1 \mod 16$ pour $z=4k+r$ avec r reste dans la division par 4 on s'aperçoit que l'on obtient 0 uniquement dans le cas $r=0$

    Ainsi si (x,y) est un couple solution et si y>4 alors x est un multiple de 4.
    Mais si x est un multiple de 4 alors $5^x-1$ est divisible par $5^4-1=13.48$ donc divisible par 13.

    En espérant ne pas avoir écrit (trop) d'énormités.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
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