Inégalité

Bonjour a tous , je recherche a démontrer cette inégalité mais en vain:

si $ a+b+c=1$ alors $a^{2}$+ $b^{2}$+ $c^{2}$ $\ge$$\frac{1}{3}$$\ge$$a^{2}b+b^{2}a+c^{2}a$

Je pense ne pas être loin, car je suis parti du fait que la moyenne arithmétique est plus grande que la moyenne géométrique et j ai tout élevé a l exposant 3 mais je n arrive pas au résultat.Si qqn peut m aider , merci. Juan

Réponses

  • Bonjour,

    Si par exemple a=1 ; b=2 ; c=-2 alors la dernière inégalité me tire souci.
  • Il a du oublier l'hypothese que a, b, c sont positifs. Il y a peut-etre une faute de frappe a la fin aussi.

    En tout cas, si a, b, c sont positifs alors

    1) La premiere inegalite est une inegalite de convexite

    2) On peut montrer $ab+bc+ca\le 1/3$ ce qui entraine $a^2b+b^2c+c^2a\le 1/3$.
  • Bonjour, oui effectivement pardon a,b,c son positifs. Un indice? Merci
  • Si $f$ est convexe et $\lambda_i$ sont des reels positifs de somme 1 alors $f(\lambda_1x_1+\cdots+\lambda_nx_n)\le \lambda_1 f(x_1)+\cdots+\lambda_n f(x_n)$. On prend $f(x)=x^2$.
  • On peut également penser à la célébrissime inégalité de C.....-S...... (réflexe qu'il faut avoir dès qu'on voit une somme de carrés).
  • En exprimant l'une des nombres a,b,c en fonction des deux autres on se ramène à un problème du second degré c'est à dire la recherche de min/max sur une fonction polynôme du second degré.

    En espérant ne pas avoir écrit (trop) d'énormités.
  • Si on exprime c en fonction de a et b:

    $c=1-a-b$

    $a^2+b^2+c^2=2b^2+2(a-1)b+2a^2-2a+1$

    Si on considère la fonction:

    $f(x)=2x^2+2(a-1)x+2a^2-2a+1$

    Cette fonction a un minimum, sauf erreur, en $x=\dfrac{1-a}{2}$
    et:
    $\displaystyle f(\dfrac{1-a}{2})=\dfrac{3}{2}a^2-a+\dfrac{1}{2}$

    On considère la fonction
    $g(x)=\dfrac{3}{2}x^2-x+\dfrac{1}{2}$
    Cette fonction a un minimum en $x=\dfrac{1}{3}$
    et:
    $g(\dfrac{1}{3})=\dfrac{1}{3}$

    En espérant ne pas avoir écrit (trop) d'énormités.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Bonjour,

    J'ai encore plus simple pour la première inégalité:

    Si $a+b+c=1$ et $a,b$ et $c$ positifs (On remarquera que cette hypothèse est inutile pour cette inégalité).
    Posons $a=\alpha+\dfrac{1}{3}$, $b=\beta+\dfrac{1}{3}$ et $c=\theta+\dfrac{1}{3}$
    On a alors $\alpha+\beta+\theta=0$
    De plus $a^2+b^2+c^2=\Big(\alpha+\dfrac{1}{3}\Big)^2+\Big(\beta+\dfrac{1}{3}\Big)^2+\Big(\theta+\dfrac{1}{3}\Big)^2$
    Soit alors $a^2+b^2+c^2=\alpha^2+\beta^2+\theta^2+\dfrac{2}{3}(\alpha+\beta+\theta)+3\Big(\dfrac{1}{3}\Big)^2$
    D'où $a^2+b^2+c^2=\alpha^2+\beta^2+\theta^2+\dfrac{1}{3}$
    En conclusion $a^2+b^2+c^2 \ge \dfrac{1}{3}$

    On constate aussi que l'égalité est atteinte si et seulement si $\alpha=\beta=\theta=0$ soit $a=b=c=\dfrac{1}{3}$
    Si je ne dis pas trop de bêtises, on peut généraliser et dire:
    Si $a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{p}=1$ alors $a_{1}^2+a_{2}^2+\ldots +a_{p}^2 \ge \dfrac{1}{p}$

    Al-Kashi
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