Définir une distance

paspythagore
paspythagore
dans Analyse
Bonjour

Je dois résoudre cet exercice :
On considère sur $\R^*_+$, la distance usuelle $d$ et la distance $\delta(x,y)=\Big|\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}\Big|$.
Montrer que $\delta$ est une distance

...sur $\R^*_+$, cela veut dire de $\R^*_+\times\R^*_+\to\R_+$ ?
J'ai du mal à montrer que l'inégalité triangulaire est vérifiée.
$\delta(x,y)=\Big|\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}\Big|$
$\delta(x,z)+\delta(z,y)=\Big|\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{z}\Big\Big|+|\dfrac{1}{z}-\dfrac{1}{y}\Big|$
Si $\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{z}$ et $\dfrac{1}{z}-\dfrac{1}{y}$ sont du même signe $\delta(x,z)+\delta(z,y)=\delta(x,y)$
Si non $\delta(x,z)+\delta(z,y)=\Big|\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{z}-\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{y}\Big|$
Et là, je suis coincé.

Réponses

  • Magnolia
    Magnolia
    Bonjour

    Comme d'hab!

    On a toujours $|a-b|\leq |a-c|+|c-b|$ même si $a=1/x$, ... etc
  • paspythagore
    paspythagore
    Donc, il n'y a rien démontrer, il suffit de l'écrire ?

    $ \delta(x,y)=\vert\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}\vert$

    $ \delta(x,z)+\delta(z,y)=\vert\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{z}\vert+\vert\dfrac{1}{z}-\dfrac{1}{y}\vert$

    Donc on a bien $ \delta(x,y)\leq\delta(x,z)+\delta(z,y)$.
  • egoroffski
    egoroffski
    Oui, mais il vaut mieux écrire : "d'après l'inégalité triangulaire pour la distance euclidienne usuelle, on a $$ \delta(x,y)= \left\lvert \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y} \right\rvert \leq \left\lvert \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{z} \right\rvert + \left\lvert \dfrac{1}{z}-\dfrac{1}{y} \right\rvert = \delta(x,z)+\delta(z,y) $$ et donc (...)"
  • paspythagore
    paspythagore
    et donc l'inégalité triangulaire est vérifiée pour $\delta$ ?
  • egoroffski
    egoroffski
    Bah oui.
  • paspythagore
    paspythagore
    Bonjour,

    je dois maintenant montrer que la distance usuelle $d$ et $\delta$ sont topologiquement équivalentes.
    Deux distances $d_1$ et $d_2$ sont dites topologiquement équivalentes si les topologies associées $T_1$ et $T_2$ sont les mêmes, ce qui revient à dire que les deux propriétés suivantes sont vraies :
    $\forall x\in X, \forall \varepsilon>0, \exists \alpha>0, B_d(x,\alpha)\subset B_\delta(x,\varepsilon)$
    $\forall x\in X, \forall \varepsilon>0, \exists \alpha>0, B_\delta(x,\alpha) \subset B_d(x,\varepsilon)$

    Deux distances topologiquement équivalentes définissent les mêmes ouverts, les mêmes fermés, les mêmes compacts...

    Je ne sais pas si on peut dire directement ça :

    $\forall x\in \R, \forall \varepsilon>0, \exists \alpha>0, B_d(x,\alpha)\subset B_\delta(x,\varepsilon)$
    $\forall x\in \R_+^*, \forall \varepsilon>0, \exists \alpha>0, B_\delta(x,\alpha) \subset B_d(x,\varepsilon)$

    Faut il dire que : $\forall x\in\R_+^*, \exists x_1\in\R_+^*, x=\dfrac{1}{x_1}$ ?
    En fait je ne sais pas faire ? Pouvez vous m'aider ?
  • paspythagore
    paspythagore
    Il est peut être plus simple de démontrer que ces deux distances ne sont pas fortement équivalentes.

    $\forall(x,y)\to(+\infty, +\infty),\ \delta(x,y)\to 0$, on a bien : $\exists a \in\R_+^*,\ \forall(x,y),\ a\Big|\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}\Big|\leq|x-y|$. C'est vrai quel que soit $a$.

    Par contre, $\nexists b\in\R_+^*,\ \forall(x,y),\ |x-y| \leq b\Big|\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}\Big|$, (cela est vrai pour tout $x\neq y$ lorsque $(x,y)\to(+\infty, +\infty)$).
  • egoroffski
    egoroffski
    Ouh là là c'est la cata, il ne faut jamais écrire ce genre de trucs : $\forall(x,y)\to(+\infty, +\infty)$ !! Ça n'a strictement aucun sens. Qu'est-ce qu'un couple de réels qui tend vers l'infini ?

    En plus je ne vois pas bien ce que tu penses avoir démontré. Qu'il existe un $a>0$ tel que $a \delta(x,y) \leq |x-y|$ pour tous $x,y>0$ ? Je n'espère pas, parce que c'est faux. Et je le prouve (proprement, et sans mélanger variables muettes et non muettes) : en définissant les suites $x_n=1/n$ et $y_n=1/(n+1)$, on a $\delta(x_n,y_n) =1$ et $|x_n-y_n|=\frac{1}{n(n+1)}$, et donc $\delta(x_n,y_n)/|x_n-y_n|$ n'est pas majoré. Je te laisse procéder de même pour nier l'autre inégalité.

    Enfin pour montrer l'équivalence topologique des deux fonctions, tu peux utiliser la continuité de $x \mapsto 1/x$, de $\R_+^*$ euclidien dans lui-même.
  • paspythagore
    paspythagore
    Merci de ton aide.

    J'ose à peine continuer.

    En définissant les suites $ x_n=n$ et $ y_n=n+1$, on a $ \delta(x_n,y_n) =\frac{1}{n(n+1)}$ et $ \vert x_n-y_n\vert=1$, et donc $ \delta(x_n,y_n)/\vert x_n-y_n\vert$ n'est pas minoré.
    Donc $\delta$ n'est pas fortement équivalente à $d$.

    Soit $ f : \R_+^*\to\R_+^*, x\mapsto\dfrac{1}{x}$

    Et $I : (\R_+^*, d)\to(\R_+^*, \delta_f), \vert x-y\vert\mapsto\vert \dfrac{1}{\frac{1}{x}}-\dfrac{1}{\frac{1}{y}}\vert=\vert x-y\vert$

    $\forall\varepsilon>0,\exists\eta>0, \forall x, d(x,y)<\eta\Longrightarrow\delta(f(x),f(y))<\varepsilon$

    Il suffit de prendre $\eta\geq\varepsilon$.

    $I$ et $I^{-1}$ sont continues, donc $d$ et $\delta$ définissent ma même topologie.
  • egoroffski
    egoroffski
    OK pour la première partie. Maintenant là je bloque :
    paspythagore a écrit:
    Et $I : (\R_+^*, d)\to(\R_+^*, \delta_f), \vert x-y\vert\mapsto\vert \dfrac{1}{\frac{1}{x}}-\dfrac{1}{\frac{1}{y}}\vert=\vert x-y\vert$

    C'est encore une écriture qui n'a aucun sens ! Lorsqu'on définit une fonction avec $\mapsto$, on doit mettre une seule lettre avant cette flèche : $f \, : \, z \mapsto ...$ signifie "voilà comment calculer $f(z)$, pour un $z$ donné". Ici je ne sais pas comment calculer $I(z)$ pour un $z$ donné, parce qu'au lieu d'une seule lettre j'ai $|x-y|$ avant la flèche, ce qui pose deux problèmes :
    - pour calculer $I(3)$ il faut que je trouve un $x$ et $y$ tels que $|x-y|=3$, bon ici c'est facile, mais en général ce n'est pas facile, et ça peut même être impossible (comment calculer $I(-3)$ si $I$ n'est définie que pour des arguments positifs ?)
    - et même si c'est possible, rien ne garantit que le résultat ne dépendra pas du choix de $x,y$ ; par exemple si je définis une fonction par $g \, : \, x-y \mapsto x+y$, et que je veux calculer $g(2)$, en prenant $x=2$ et $y=0$ je trouve $g(2)=2$, mais en prenant $x=10$ et $y=8$ je trouve $g(2)=18$.. la définition est ambiguë.

    Et tout ça pour définir, apparemment, l'application identité de $\R_+^*$ dans lui-même... Il faut que tu arrives à être beaucoup plus rigoureux, sinon tu ne pourras pas avancer dans ce genre d'exo.
  • paspythagore
    paspythagore
    Mon manque de rigueur est largement lié à mon incompétence. Merci d'être patient, de me "corriger" et de m'expliquer le pourquoi.

    Je voulais montrer que l'involution $ Inv : (\mathbb{R}_+^*, d)\to(\mathbb{R}_+^*, \delta_f), x\mapsto\dfrac{1}{x}$ est continue sur $\mathbb{R}_+^*$ et $Inv^{-1} : (\mathbb{R}_+^*, \delta_f)\to(\mathbb{R}_+^*, d), x\mapsto\dfrac{1}{x}$ aussi.
  • paspythagore
    paspythagore
    Du coup, j'ai oublié la définition, c'est l'application Identité qui doit être continue. Je recommence.
  • paspythagore
    paspythagore
    Je réessaye...

    Soit $I : (\mathbb{R}_+^*,d)\to(\mathbb{R}_+^*,\delta), x\mapsto x$

    Soit $x_0\in X$, $I$ est continue en $x_0$ si :

    $\forall \varepsilon>0,\exists\eta>0,\forall x\in X, d(x,x_0)<\eta\Rightarrow\delta(x,x_0)<\varepsilon$

    (1) $\forall \varepsilon>0,\exists\eta>0,\forall x\in X, \vert x-x_0\vert<\eta\Rightarrow\vert\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x_0}\vert<\varepsilon$

    Or $f(x)=\dfrac{1}{x}$ est continue sur $\R_+^*$.

    Donc (1) est vérifié, $I$ est continue.

    On procède de même pour $I^{-1}$ et on conclut ?

    Je n'ai rien de suffisamment clair (mâché) là-dessus. Pour des distances topologiquement équivalentes, je n'ai "que" :
    Soient $X$ un ensemble et $d$ et $\delta$ deux distances sur $X$.

    Les distances $d$ et $\delta$ sont uniformément équivalentes ssi :

    $\forall x,\forall \varepsilon, \exists \eta, \overset{\circ}{B_d}(x,\eta)\subset\overset{\circ}{B_\delta}(x,\varepsilon)$ et $\overset{\circ}{B_\delta}(x,\eta)\subset\overset{\circ}{B_d}(x,\varepsilon)$

    Ca veut dire : $\overset{\circ}{B_d}(x,y)=\overset{\circ}{B_\delta}(x,y)$ ?
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