Borel et les tribus engendrées

paspythagore
paspythagore
dans Analyse
Définition : On note $\mathcal{B}(E)$, ou $\mathcal{B}\text{or}$, et on appelle tribu de Borel sur $\R$ la tribu engendrée par les intervalles ouverts. La tribu de Borel sur $\bar{\R}$ est l'ensemble des parties de $\R$ prenant l'une des formes $A, A\cup\{+\infty\}, A\cup\{-\infty}\}$ ou $A\cup\{-\infty, +\infty\}$, où $A\in\mathcal{B}\text{or}(\R)$

La plus petite tribu engendrée par les intervalles ouverts, à quoi elle ressemble dans ce cas ?
$A\cup\{-\infty, +\infty\}$ est un fermé dans le cas où $A=\R$, comment un fermé peut être engendré par un ouvert ?
"la tribu engendrée par les intervalles ouverts." Est-ce que cela veut dire, l'ensemble des partie plus "grandes" (comprenant) un ouvert (celui qui engendre la tribu de Borel) quelconques ? Ce qui veut dire qu'il y a plusieurs tribus de Borel dans $\R$ ?

Réponses

  • DE
    DE
    > La plus petite tribu engendrée par les intervalles ouverts, à quoi elle ressemble dans ce cas ?

    C'est pas facile de décrire les boréliens (les éléments de la tribu).

    > $A\cup\{-\infty, +\infty\}$ est un fermé dans le cas où $A=\R$, comment un fermé peut être engendré par un ouvert ?

    Par exemple $[0,1]$ est l'intersection des $]-1/n,1+1/n[$.

    > "la tribu engendrée par les intervalles ouverts." Est ce que cela veut dire, l'ensemble des partie plus "grandes" (comprenant) un ouvert

    Non .

    >(celui qui engendre la tribu de Borel) ?

    ??

    >Ce qui veut dire qu'il y a plusieurs tribus de Borel dans $\R$ ?

    Non.

    La tribu des boréliens sur $\R$ est la plus petite tribu qui contient les intervalles ouverts (ou, de manière équivalente, la plus petite tribu qui contient tous les ouverts). (Exo pas si simple sans doute si tu découvres ces notions).

    Le "plus petite" ici se réfère à l'inclusion pour les *tribus* (donc des ensembles de parties de $\R$). Cela ne se réfère pas à l'inclusion pour les sous-ensembles de $\R$.
  • paspythagore
    paspythagore
    Merci,

    je vais revoir la chose avec tes indications.
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour Paspythagore.

    Tu devrais réfléchir avant d'écrire :
    $ A\cup\{-\infty, +\infty\}$ est un fermé dans le cas où $ A=\mathbb{R}$
    Un fermé ? Un fermé de quel ensemble ? (*) De plus, dans la définition des boréliens de $ \bar{\mathbb{R}}$ , il n'est nullement question d'ouverts ou de fermés. Relis ta définition.

    Pour bien comprendre, il faut réfléchir à la notion de tribu engendrée. Prends par exemple $E=\{1;2;3;4;5\}$ On considère $A=\{1;2;5\}$ et $B=\{3;4;5\}$, deux parties de $E$. Quelle est la tribu engendrée par $\{A;B\}$ ?

    Cordialement.

    (*) $ \bar{\mathbb{R}}$ est un ouvert et un fermé de $ \bar{\mathbb{R}}$ !
  • DE
    DE
    On peut être un peu plus spécifique.

    La plus petite tribu contenant ${\cal A}$ (où ${\cal A}$ est par exemple l'ensemble des intervalles ouverts) est l'intersection de toutes les tribus contenant ${\cal A}$.

    On peut jouer à expliciter les niveaux d'abstractions.

    L'ensemble ${\cal A}$ est un sous-ensemble de ${\cal P}(\R)$ (les éléments de ${\cal A}$ sont des parties de $\R$). Autrement dit ${\cal A}$ est un élément de ${\cal P}({\cal P}(\R))$.

    Les tribus dont on parle sont également des éléments de ${\cal P}({\cal P}(\R))$. C'est le même niveau d'abstraction.

    L'ensemble des tribus contenant ${\cal A}$ est donc un élément de ${\cal P}({\cal P}({\cal P}(\R)))$. Ouch.
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