Equivalences des normes

En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes. C'est un théorème bien connu que l'on rencontre quand on commence à parler des normes. Bien sûr, ce n'est plus vrai en dimension infinie. Dans ce cas-là, tu obtiens souvent une des inégalités mais pas les deux...

Bonjour Papy,

Déjà, pour avoir une norme, tu as besoin d'un e.v. réel ou complexe.
Une norme définit toujours une distance. Mais c'est plus fort qu'une distance car il y a l'homogénéité : $N(\lambda x) = |\lambda|N( x) $. Par exemple une distance SNCF n'est pas une norme et ça se voit.

amicalement,

e.v.

Bonjour.

Une norme s'applique à des vecteurs, des éléments d'un espace vectoriel. Une distance définit un espace métrique, qui n'a rien de vectoriel. Par exemple, la distance $d(x,x)=0$ et $d(x,y)=1$ si $x\neq y$ pour $x$ et $y$ éléments quelconques d'un ensemble (disons non vide) $X$ fait de $X$ un espace métrique. Rien de linéaire là dedans.

Maintenant, si on reste dans les espaces vectoriels normés, il y a des mélanges possibles, car :
* A la structure vectorielle est associée une structure affine (les éléments vus comme des points, pour faire simple).
* La norme de la différence définit une distance compatible avec cette structure affine ($d(x,y)=||x-y||$). Par exemple les droites affines "minimisent les distances" (sont les géodésiques), le segment $[x,y]$ (au sens barycentrique) est l'ensemble des $z$ tels que $d(x,y)=d(x,z)+d(z,y)$, etc.

Cordialement.

Gerard a écrit:

le segment $[x,y]$ (au sens barycentrique) est l'ensemble des $z$ tels que $d(x,y)=d(x,z)+d(z,y)$, etc.

Attention, dans $\R^2$ muni de la norme 1, en prenant $x=(0,0)$ et $y=(1,1)$, l'ensemble des $z$ tels que $d(x,y)=d(x,z)+d(z,y)$ est "légèrement" plus grand que le segment $[x,y]$.