Espace complet

Soit $\cursuve{B}$, l'ensemble des fonctions bornées : $\R\to\R$, muni de la distance :
$\forall f,g\in\cursuve{B}, d(f,g)=\displaystyle\sup_{x\in\R} |f(x)-g(x)|$
Montrer que $\cursuve{B}$ est complet, c'est à dire que toute suite de Cauchy de $\cursuve{B}$ a une limite dans $\cursuve{B}$.

Soit $(f_n)_{n\in\N}$ une suite de Cauchy dans $(\cursuve{B}, d_\infty)$, on a :
$\forall\varepsilon>0,\ \exists N\in\N,\ \forall q\geq p\geq N,\ d_\infty(f_p, f_q)<\varepsilon$, ce qui signifie :
$\forall\varepsilon>0,\ \exists N\in\N, \forall q\geq p\geq N,\ \displaystyle\sup_{x\in\R} |f_p(x)-f_q(x)|<\varepsilon$
$\cdots$
On fait tendre $q$ vers $+\infty$, on a alors (avec $f(x)=\displaystyle\lim_{n\to\+\infty}f_n(x)$)
$\forall\varepsilon>0,\ \exists N\in\N,\ \forall p\geq N,\ \displaystyle\sup_{x\in\R} |f_p(x)-f(x)|<\varepsilon$ d'où en particulier :
$\forall x\in\R,\ |f(x)|\leq |f(x)-f_N(x)|+|f_N(x)|\leq\varepsilon+\displaystyle\sup_{x\in\R} f_N(x)$
Ce qui prouve que $f$ est bornée sur $\R$.